与えられた積分 $\int \frac{dx}{x(x-1)^2}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{dx}{x(x-1)^2}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$ とおきます。

両辺に $x(x-1)^2$ をかけると、

$1 = A(x-1)^2 + Bx(x-1) + Cx$

$1 = A(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 - x) + Cx$

$1 = (A+B)x^2 + (-2A - B + C)x + A$

係数を比較すると、

$A+B = 0$

$-2A - B + C = 0$

$A = 1$

$A = 1$ なので、$B = -1$

$-2(1) - (-1) + C = 0$ より、$-2 + 1 + C = 0$ なので、$C = 1$

よって、

$\frac{1}{x(x-1)^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}$

したがって、積分は

$\int \frac{dx}{x(x-1)^2} = \int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} \right) dx$

$= \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x-1} dx + \int \frac{1}{(x-1)^2} dx$

$= \ln |x| - \ln |x-1| - \frac{1}{x-1} + C$

$= \ln \left| \frac{x}{x-1} \right| - \frac{1}{x-1} + C$

3. 最終的な答え

$\ln \left| \frac{x}{x-1} \right| - \frac{1}{x-1} + C$