媒介変数 $t$ で表された曲線 $C: x = t - \sin t, y = 1 - \cos t$ ($0 \leq t \leq \pi$) の長さを求めよ。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線 $C: x = t - \sin t, y = 1 - \cos t$ ($0 \leq t \leq \pi$) の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

曲線 $C$ の長さを $L$ とすると、$L$ は次の式で計算できます。

$$L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$$

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

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\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t - \sin t) = 1 - \cos t

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\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(1 - \cos t) = \sin t

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したがって、

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\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = (1 - \cos t)^2 + (\sin t)^2 = 1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t

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$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ であるから、

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\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = 2 - 2\cos t = 2(1 - \cos t)

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半角の公式 $1 - \cos t = 2\sin^2 \left(\frac{t}{2}\right)$ を用いると、

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2(1 - \cos t) = 4\sin^2 \left(\frac{t}{2}\right)

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したがって、

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L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{4\sin^2 \left(\frac{t}{2}\right)} dt = \int_{0}^{\pi} 2\left|\sin \left(\frac{t}{2}\right)\right| dt

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$0 \leq t \leq \pi$ のとき、$0 \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\pi}{2}$ であるから、$\sin\left(\frac{t}{2}\right) \geq 0$ なので、

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L = \int_{0}^{\pi} 2\sin \left(\frac{t}{2}\right) dt = 2 \int_{0}^{\pi} \sin \left(\frac{t}{2}\right) dt

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\int \sin \left(\frac{t}{2}\right) dt = -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) + C

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したがって、

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L = 2 \left[ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right]_{0}^{\pi} = 2 \left( -2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - (-2\cos(0)) \right) = 2(0 + 2) = 4

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3. 最終的な答え

4