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与えられた関数 $f(x)$ に対して、$f'(x)$ (1階微分), $f''(x)$ (2階微分), $f^{(3)}(x)$ (3階微分), $f^{(5)}(x)$ (5階微分) をそれぞれ求める問題です。具体的には、以下の5つの関数について計算を行います。 (1) $f(x) = x^2$ (2) $f(x) = (1+x)^{10}$ (3) $f(x) = (a+bx)^n$ ($n \geq 5$) (4) $f(x) = x^6 + x^4 - x^3 - 2$ (5) $f(x) = \sqrt{x}$

解析学微分導関数関数の微分多項式累乗根
2025/7/7

1. 問題の内容

与えられた関数 f(x)f(x) に対して、f′(x)f'(x) (1階微分), f′′(x)f''(x) (2階微分), f(3)(x)f^{(3)}(x) (3階微分), f(5)(x)f^{(5)}(x) (5階微分) をそれぞれ求める問題です。具体的には、以下の5つの関数について計算を行います。
(1) f(x)=x2f(x) = x^2
(2) f(x)=(1+x)10f(x) = (1+x)^{10}
(3) f(x)=(a+bx)nf(x) = (a+bx)^n (n≥5n \geq 5)
(4) f(x)=x6+x4−x3−2f(x) = x^6 + x^4 - x^3 - 2
(5) f(x)=xf(x) = \sqrt{x}

2. 解き方の手順

各関数について、微分を繰り返して求めます。
(1) f(x)=x2f(x) = x^2
* f′(x)=2xf'(x) = 2x
* f′′(x)=2f''(x) = 2
* f(3)(x)=0f^{(3)}(x) = 0
* f(5)(x)=0f^{(5)}(x) = 0
(2) f(x)=(1+x)10f(x) = (1+x)^{10}
* f′(x)=10(1+x)9f'(x) = 10(1+x)^9
* f′′(x)=10⋅9(1+x)8=90(1+x)8f''(x) = 10 \cdot 9 (1+x)^8 = 90(1+x)^8
* f(3)(x)=90⋅8(1+x)7=720(1+x)7f^{(3)}(x) = 90 \cdot 8 (1+x)^7 = 720(1+x)^7
* f(5)(x)=720⋅6⋅5(1+x)5=25200(1+x)5f^{(5)}(x) = 720 \cdot 6 \cdot 5 (1+x)^5 = 25200 (1+x)^5
(3) f(x)=(a+bx)nf(x) = (a+bx)^n
* f′(x)=nb(a+bx)n−1f'(x) = n b (a+bx)^{n-1}
* f′′(x)=n(n−1)b2(a+bx)n−2f''(x) = n (n-1) b^2 (a+bx)^{n-2}
* f(3)(x)=n(n−1)(n−2)b3(a+bx)n−3f^{(3)}(x) = n (n-1) (n-2) b^3 (a+bx)^{n-3}
* f(5)(x)=n(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)b5(a+bx)n−5f^{(5)}(x) = n (n-1) (n-2) (n-3) (n-4) b^5 (a+bx)^{n-5}
(4) f(x)=x6+x4−x3−2f(x) = x^6 + x^4 - x^3 - 2
* f′(x)=6x5+4x3−3x2f'(x) = 6x^5 + 4x^3 - 3x^2
* f′′(x)=30x4+12x2−6xf''(x) = 30x^4 + 12x^2 - 6x
* f(3)(x)=120x3+24x−6f^{(3)}(x) = 120x^3 + 24x - 6
* f(5)(x)=720xf^{(5)}(x) = 720x
(5) f(x)=x=x1/2f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}
* f′(x)=12x−1/2f'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2}
* f′′(x)=12(−12)x−3/2=−14x−3/2f''(x) = \frac{1}{2} (-\frac{1}{2}) x^{-3/2} = -\frac{1}{4} x^{-3/2}
* f(3)(x)=−14(−32)x−5/2=38x−5/2f^{(3)}(x) = -\frac{1}{4} (-\frac{3}{2}) x^{-5/2} = \frac{3}{8} x^{-5/2}
* f(5)(x)=38(−52)(−72)x−9/2=10532x−9/2=10532x9/2f^{(5)}(x) = \frac{3}{8} (-\frac{5}{2}) (-\frac{7}{2}) x^{-9/2} = \frac{105}{32} x^{-9/2} = \frac{105}{32 x^{9/2}}

3. 最終的な答え

(1)
* f′(x)=2xf'(x) = 2x
* f′′(x)=2f''(x) = 2
* f(3)(x)=0f^{(3)}(x) = 0
* f(5)(x)=0f^{(5)}(x) = 0
(2)
* f′(x)=10(1+x)9f'(x) = 10(1+x)^9
* f′′(x)=90(1+x)8f''(x) = 90(1+x)^8
* f(3)(x)=720(1+x)7f^{(3)}(x) = 720(1+x)^7
* f(5)(x)=30240(1+x)5f^{(5)}(x) = 30240(1+x)^5
(3)
* f′(x)=nb(a+bx)n−1f'(x) = nb(a+bx)^{n-1}
* f′′(x)=n(n−1)b2(a+bx)n−2f''(x) = n(n-1)b^2(a+bx)^{n-2}
* f(3)(x)=n(n−1)(n−2)b3(a+bx)n−3f^{(3)}(x) = n(n-1)(n-2)b^3(a+bx)^{n-3}
* f(5)(x)=n(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)b5(a+bx)n−5f^{(5)}(x) = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)b^5(a+bx)^{n-5}
(4)
* f′(x)=6x5+4x3−3x2f'(x) = 6x^5 + 4x^3 - 3x^2
* f′′(x)=30x4+12x2−6xf''(x) = 30x^4 + 12x^2 - 6x
* f(3)(x)=120x3+24x−6f^{(3)}(x) = 120x^3 + 24x - 6
* f(5)(x)=720xf^{(5)}(x) = 720x
(5)
* f′(x)=12x−1/2f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2}
* f′′(x)=−14x−3/2f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2}
* f(3)(x)=38x−5/2f^{(3)}(x) = \frac{3}{8}x^{-5/2}
* f(5)(x)=10532x−9/2=10532x9/2f^{(5)}(x) = \frac{105}{32}x^{-9/2} = \frac{105}{32x^{9/2}}

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