関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$、直線 $x=0$、$x=1$、$y$軸で囲まれた図形 A の面積の近似値を、以下の3つの方法で求める問題です。 (1) $x=0$ から $x=1$ を 10 等分して長方形を考え、大きい方から A を囲む図形（$S_n$）の面積を求める。 (2) $x=0$ から $x=1$ を 10 等分して長方形を考え、小さい方から A を囲む図形（$T_n$）の面積を求める。 (3) $x=0$ から $x=1$ を 10 等分して台形を考え、A を直線近似した図形（$U_n$）の面積を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$、直線 $x=0$、$x=1$、$y$軸で囲まれた図形 A の面積の近似値を、以下の3つの方法で求める問題です。

(1) $x=0$ から $x=1$ を 10 等分して長方形を考え、大きい方から A を囲む図形（$S_n$）の面積を求める。

(2) $x=0$ から $x=1$ を 10 等分して長方形を考え、小さい方から A を囲む図形（$T_n$）の面積を求める。

(3) $x=0$ から $x=1$ を 10 等分して台形を考え、A を直線近似した図形（$U_n$）の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $S_n$ の計算

$x=0$ から $x=1$ を 10 等分するので、各長方形の幅は $\Delta x = \frac{1-0}{10} = 0.1$ です。大きい方から A を囲むということは、各区間 $[x_{i-1}, x_i]$ で $f(x)$ の最大値を取るということなので、$x_{i-1}$ での関数値を長方形の高さとして計算します。

$S_n = \sum_{i=1}^{10} f(x_{i-1}) \Delta x = \Delta x \sum_{i=1}^{10} f(x_{i-1}) = 0.1 \sum_{i=1}^{10} f((i-1) \times 0.1)$

$S_n = 0.1 \sum_{i=1}^{10} \frac{1}{1 + ((i-1) \times 0.1)^2}$

$S_n = 0.1 \left( \frac{1}{1+0^2} + \frac{1}{1+0.1^2} + \frac{1}{1+0.2^2} + \frac{1}{1+0.3^2} + \frac{1}{1+0.4^2} + \frac{1}{1+0.5^2} + \frac{1}{1+0.6^2} + \frac{1}{1+0.7^2} + \frac{1}{1+0.8^2} + \frac{1}{1+0.9^2} \right)$

$S_n \approx 0.1 \times (1 + 0.9901 + 0.9615 + 0.9174 + 0.8621 + 0.8 + 0.7353 + 0.6711 + 0.6098 + 0.5525)$

$S_n \approx 0.1 \times 8.1998$

$S_n \approx 0.820$

(2) $T_n$ の計算

$x=0$ から $x=1$ を 10 等分するので、各長方形の幅は $\Delta x = 0.1$ です。小さい方から A を囲むということは、各区間 $[x_{i-1}, x_i]$ で $f(x)$ の最小値を取るということなので、$x_i$ での関数値を長方形の高さとして計算します。

$T_n = \sum_{i=1}^{10} f(x_i) \Delta x = \Delta x \sum_{i=1}^{10} f(x_i) = 0.1 \sum_{i=1}^{10} f(i \times 0.1)$

$T_n = 0.1 \sum_{i=1}^{10} \frac{1}{1 + (i \times 0.1)^2}$

$T_n = 0.1 \left( \frac{1}{1+0.1^2} + \frac{1}{1+0.2^2} + \frac{1}{1+0.3^2} + \frac{1}{1+0.4^2} + \frac{1}{1+0.5^2} + \frac{1}{1+0.6^2} + \frac{1}{1+0.7^2} + \frac{1}{1+0.8^2} + \frac{1}{1+0.9^2} + \frac{1}{1+1^2} \right)$

$T_n \approx 0.1 \times (0.9901 + 0.9615 + 0.9174 + 0.8621 + 0.8 + 0.7353 + 0.6711 + 0.6098 + 0.5525 + 0.5)$

$T_n \approx 0.1 \times 7.6998$

$T_n \approx 0.770$

(3) $U_n$ の計算

台形近似なので、各区間 $[x_{i-1}, x_i]$ での台形の面積は $\frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} \Delta x$ で計算されます。

$U_n = \sum_{i=1}^{10} \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} \Delta x = \frac{\Delta x}{2} \sum_{i=1}^{10} (f(x_{i-1}) + f(x_i))$

$U_n = \frac{0.1}{2} \left( f(0) + f(0.1) + f(0.1) + f(0.2) + f(0.2) + f(0.3) + f(0.3) + f(0.4) + f(0.4) + f(0.5) + f(0.5) + f(0.6) + f(0.6) + f(0.7) + f(0.7) + f(0.8) + f(0.8) + f(0.9) + f(0.9) + f(1) \right)$

$U_n = \frac{0.1}{2} \left( f(0) + 2\sum_{i=1}^{9} f(i \times 0.1) + f(1) \right)$

$U_n = \frac{0.1}{2} \left( \frac{1}{1+0^2} + 2 \sum_{i=1}^{9} \frac{1}{1+(0.1i)^2} + \frac{1}{1+1^2} \right)$

$U_n = \frac{0.1}{2} \left( 1 + 2(0.9901 + 0.9615 + 0.9174 + 0.8621 + 0.8 + 0.7353 + 0.6711 + 0.6098 + 0.5525) + 0.5 \right)$

$U_n = \frac{0.1}{2} (1 + 2(7.6998) + 0.5)$

$U_n = 0.05 \times (1 + 15.3996 + 0.5)$

$U_n = 0.05 \times 16.8996$

$U_n \approx 0.845$

別の方法として、$U_n = \frac{S_n + T_n}{2}$ を使うこともできます。

$U_n = \frac{0.820 + 0.770}{2} = \frac{1.59}{2} = 0.795$

積分で計算すると$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2} dx = [\arctan(x)]_{0}^{1} = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$なので、台形近似 $U_n = \frac{S_n+T_n}{2}$ の方がより良い近似になっていると言えます。

3. 最終的な答え

(1) $S_n \approx 0.820$

(2) $T_n \approx 0.770$

(3) $U_n \approx 0.795$