関数 $f(x)$ と $g(x)$ が与えられており、以下の条件を満たしています。 $f(x) = 3x^2 + x \int_{0}^{1} f(t) dt + 1$ $g(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt + a$ (ただし、$a$ は定数) このとき、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ を求めよ。 (2) $g(x)$ を求めよ。 (3) 関数 $y = g(x)$ のグラフが $x$ 軸と異なる3点で交わるような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ と $g(x)$ が与えられており、以下の条件を満たしています。

$f(x) = 3x^2 + x \int_{0}^{1} f(t) dt + 1$

$g(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt + a$ (ただし、$a$ は定数)

このとき、以下の問いに答えます。

(1) $f(x)$ を求めよ。

(2) $g(x)$ を求めよ。

(3) 関数 $y = g(x)$ のグラフが $x$ 軸と異なる3点で交わるような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を求める。

$\int_{0}^{1} f(t) dt$ は定数なので、これを $k$ とおきます。

$k = \int_{0}^{1} f(t) dt$

すると、$f(x)$ は

$f(x) = 3x^2 + kx + 1$

と表せます。

この式を $\int_{0}^{1} f(t) dt$ に代入して $k$ を求めます。

$k = \int_{0}^{1} (3t^2 + kt + 1) dt = [t^3 + \frac{1}{2}kt^2 + t]_{0}^{1} = 1 + \frac{1}{2}k + 1 = 2 + \frac{1}{2}k$

これを解くと、

$\frac{1}{2}k = 2$

$k = 4$

したがって、$f(x) = 3x^2 + 4x + 1$ となります。

(2) $g(x)$ を求める。

$g(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt + a = \int_{0}^{x} (3t^2 + 4t + 1) dt + a$

$= [t^3 + 2t^2 + t]_{0}^{x} + a = x^3 + 2x^2 + x + a$

したがって、$g(x) = x^3 + 2x^2 + x + a$ となります。

(3) $y = g(x)$ のグラフが $x$ 軸と異なる3点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

$g(x) = x^3 + 2x^2 + x + a$ のグラフが $x$ 軸と異なる3点で交わるためには、$g(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つ必要があります。

$g'(x) = 3x^2 + 4x + 1 = (3x + 1)(x + 1)$

$g'(x) = 0$ となるのは、$x = -1$ と $x = -\frac{1}{3}$ のときです。

$g(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + (-1) + a = -1 + 2 - 1 + a = a$

$g(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3 + 2(-\frac{1}{3})^2 + (-\frac{1}{3}) + a = -\frac{1}{27} + \frac{2}{9} - \frac{1}{3} + a = -\frac{1}{27} + \frac{6}{27} - \frac{9}{27} + a = -\frac{4}{27} + a$

$g(x)$ が異なる3つの実数解を持つためには、$g(-1)$ と $g(-\frac{1}{3})$ の符号が異なる必要があります。つまり、$g(-1) \cdot g(-\frac{1}{3}) < 0$

$a(a - \frac{4}{27}) < 0$

$a^2 - \frac{4}{27}a < 0$

$a(a - \frac{4}{27}) < 0$

$0 < a < \frac{4}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 3x^2 + 4x + 1$

(2) $g(x) = x^3 + 2x^2 + x + a$

(3) $0 < a < \frac{4}{27}$