曲線 $y=x^2$ と $y=a\sin x$ (ただし $0 < a < 1$) の原点以外の交点の $x$ 座標を $m(a)$ で表すとき、$\lim_{a \to +0} m(a) = 0$ であることを示し、さらに $\lim_{a \to +0} \frac{m(a)}{a}$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y=x^2$ と $y=a\sin x$ (ただし $0 < a < 1$) の原点以外の交点の $x$ 座標を $m(a)$ で表すとき、$\lim_{a \to +0} m(a) = 0$ であることを示し、さらに $\lim_{a \to +0} \frac{m(a)}{a}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{a \to +0} m(a) = 0$ を示す。

$m(a)$ は $x^2 = a\sin x$ の原点以外の解である。$a \to +0$ のとき、$y=a\sin x$ は $y=0$ に近づく。 $y=x^2$ と $y=0$ の交点は $x=0$ のみである。$m(a)$ は原点以外の交点の $x$ 座標なので、$a \to +0$ のとき、$m(a)$ も 0 に近づく。

したがって、$\lim_{a \to +0} m(a) = 0$ が成り立つ。

(2) $\lim_{a \to +0} \frac{m(a)}{a}$ を求める。

$m(a)$ は $x^2 = a\sin x$ の解であるから、

$m(a)^2 = a \sin(m(a))$

$\frac{m(a)}{a} = \frac{\sin(m(a))}{m(a)}$

$a \to +0$ のとき、$m(a) \to 0$ であるから、$\lim_{a \to +0} m(a) = 0$。

$\lim_{a \to +0} \frac{m(a)}{a} = \lim_{a \to +0} \frac{\sin(m(a))}{m(a)} = \lim_{m(a) \to 0} \frac{\sin(m(a))}{m(a)} = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{a \to +0} m(a) = 0$

$\lim_{a \to +0} \frac{m(a)}{a} = 1$