関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ について、$x=0$ から $x=1$ までの区間で、$x$軸と関数$f(x)$によって囲まれた図形Aの面積を、以下の3つの方法で近似的に求めます。 (1) $S_n$: 区間 $[0, 1]$ を $n=10$ 等分し、各区間において、関数値の最大値を持つ長方形でAを囲み、その面積の和を求めます。 (2) $T_n$: 区間 $[0, 1]$ を $n=10$ 等分し、各区間において、関数値の最小値を持つ長方形でAに含まれるように長方形を作成し、その面積の和を求めます。 (3) $U_n$: 区間 $[0, 1]$ を $n=10$ 等分し、各区間において、関数を直線で近似した台形を作成し、その面積の和を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ について、$x=0$ から $x=1$ までの区間で、$x$軸と関数$f(x)$によって囲まれた図形Aの面積を、以下の3つの方法で近似的に求めます。

(1) $S_n$: 区間 $[0, 1]$ を $n=10$ 等分し、各区間において、関数値の最大値を持つ長方形でAを囲み、その面積の和を求めます。

(2) $T_n$: 区間 $[0, 1]$ を $n=10$ 等分し、各区間において、関数値の最小値を持つ長方形でAに含まれるように長方形を作成し、その面積の和を求めます。

(3) $U_n$: 区間 $[0, 1]$ を $n=10$ 等分し、各区間において、関数を直線で近似した台形を作成し、その面積の和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $S_n$ の計算:

区間 $[0, 1]$ を10等分すると、各区間の幅 $\Delta x$ は $\Delta x = \frac{1-0}{10} = \frac{1}{10}$ となります。

各区間の右端の点を $x_i = \frac{i}{10}$ ($i = 0, 1, ..., 10$) とします。

$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ は区間 $[0, 1]$ で減少関数なので、各区間で関数値が最大となるのは左端の点です。従って、$S_n$ は次のように計算できます。

$S_n = \sum_{i=0}^{9} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=0}^{9} f(\frac{i}{10}) \frac{1}{10} = \frac{1}{10} \sum_{i=0}^{9} \frac{1}{1+(\frac{i}{10})^2} = \frac{1}{10} \sum_{i=0}^{9} \frac{100}{100+i^2} = \sum_{i=0}^{9} \frac{10}{100+i^2}$

$S_n = \frac{10}{100+0^2} + \frac{10}{100+1^2} + \frac{10}{100+2^2} + ... + \frac{10}{100+9^2} = \frac{10}{100} + \frac{10}{101} + \frac{10}{104} + \frac{10}{109} + \frac{10}{116} + \frac{10}{125} + \frac{10}{136} + \frac{10}{149} + \frac{10}{164} + \frac{10}{181}$

$S_n \approx 0.1 + 0.099 + 0.096 + 0.092 + 0.086 + 0.08 + 0.074 + 0.067 + 0.061 + 0.055 \approx 0.809$

(2) $T_n$ の計算:

同様に、区間 $[0, 1]$ を10等分したとき、各区間で関数値が最小となるのは右端の点です。従って、$T_n$ は次のように計算できます。

$T_n = \sum_{i=1}^{10} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{10} f(\frac{i}{10}) \frac{1}{10} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} \frac{1}{1+(\frac{i}{10})^2} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} \frac{100}{100+i^2} = \sum_{i=1}^{10} \frac{10}{100+i^2}$

$T_n = \frac{10}{100+1^2} + \frac{10}{100+2^2} + ... + \frac{10}{100+10^2} = \frac{10}{101} + \frac{10}{104} + \frac{10}{109} + \frac{10}{116} + \frac{10}{125} + \frac{10}{136} + \frac{10}{149} + \frac{10}{164} + \frac{10}{181} + \frac{10}{200}$

$T_n \approx 0.099 + 0.096 + 0.092 + 0.086 + 0.08 + 0.074 + 0.067 + 0.061 + 0.055 + 0.05 \approx 0.76$

(3) $U_n$ の計算:

区間 $[0, 1]$ を10等分したとき、各区間 $\left[\frac{i}{10}, \frac{i+1}{10}\right]$ における台形の面積は、

$\frac{1}{2}(f(\frac{i}{10}) + f(\frac{i+1}{10})) \Delta x$ で与えられます。従って、$U_n$ は次のように計算できます。

$U_n = \sum_{i=0}^{9} \frac{1}{2} \left(f(\frac{i}{10}) + f(\frac{i+1}{10})\right) \frac{1}{10} = \frac{1}{20} \sum_{i=0}^{9} \left( \frac{1}{1+(\frac{i}{10})^2} + \frac{1}{1+(\frac{i+1}{10})^2} \right) = \frac{1}{2} (S_n + T_n)$

$U_n = \frac{1}{2} (S_n + T_n) \approx \frac{1}{2} (0.809 + 0.76) = \frac{1.569}{2} \approx 0.785$

3. 最終的な答え

(1) $S_n \approx 0.809$

(2) $T_n \approx 0.76$

(3) $U_n \approx 0.785$