$1 \le x \le 4$ における関数 $y = \log_2{x^4} \cdot \log_2{\frac{2}{x}}$ の最大値を求める問題。$t = \log_2{x}$ とおいたとき、$t$ の範囲、$y$ を $t$ で表した式、そして $y$ が最大値を取るときの $x$ の値と、その最大値を求める。

1. 問題の内容

$1 \le x \le 4$ における関数 $y = \log_2{x^4} \cdot \log_2{\frac{2}{x}}$ の最大値を求める問題。$t = \log_2{x}$ とおいたとき、$t$ の範囲、$y$ を $t$ で表した式、そして $y$ が最大値を取るときの $x$ の値と、その最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $t$ の範囲を求める。

$1 \le x \le 4$ より、各辺の底が2の対数をとると、

$\log_2{1} \le \log_2{x} \le \log_2{4}$

$0 \le t \le 2$

(2) $y$ を $t$ を用いて表す。

$y = \log_2{x^4} \cdot \log_2{\frac{2}{x}}$

$y = 4\log_2{x} \cdot (\log_2{2} - \log_2{x})$

$y = 4t(1-t) = 4t - 4t^2 = -4t^2 + 4t$

(3) $y$ の最大値を求める。

$y = -4t^2 + 4t = -4(t^2 - t) = -4(t^2 - t + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = -4((t - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) = -4(t - \frac{1}{2})^2 + 1$

$0 \le t \le 2$ の範囲において、$t = \frac{1}{2}$ のとき、$y$ は最大値1を取る。

(4) $y$ が最大値をとるときの $x$ の値を求める。

$t = \log_2{x} = \frac{1}{2}$

$x = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$t$ の範囲: $0 \le t \le 2$

$y = -4t^2 + 4t$

$x = \sqrt{2}$ のとき、最大値 1 をとる。