$I = [0, 1]$ 上で定義された関数 $f(x)$ が、 $ f(x) = \begin{cases} \sin(\frac{1}{x^2}) & \text{if } 0 < x \leq 1 \\ 0 & \text{if } x = 0 \end{cases} $ で与えられているとき、$f$ が $I$ 上でリーマン積分可能であることを示せ。

1. 問題の内容

$I = [0, 1]$ 上で定義された関数 $f(x)$ が、

$$

f(x) =

\begin{cases}

\sin(\frac{1}{x^2}) & \text{if } 0 < x \leq 1 \\

0 & \text{if } x = 0

\end{cases}

$$

で与えられているとき、$f$ が $I$ 上でリーマン積分可能であることを示せ。

2. 解き方の手順

ヒントにあるように、不連続点の近く（すなわち、$x=0$ の近く）とそれ以外で区間を分けて考えます。

(1) $\epsilon > 0$ を任意に与え、$[\epsilon, 1]$ 上で $f(x)$ は連続であることに注目します。区間 $[\epsilon, 1]$ 上では、$f(x) = \sin(\frac{1}{x^2})$ であり、これは連続関数なので、有界閉区間上ではリーマン積分可能です。

(2) 次に、$[0, \epsilon]$ 上での積分を考えます。$x \in (0, \epsilon]$ に対して、$-1 \le \sin(\frac{1}{x^2}) \le 1$ なので、$|f(x)| \le 1$ が成り立ちます。したがって、$f(x)$ は有界です。

(3) いま、$I=[0,1]$ 上で有界な関数$f(x)$ が、任意の$\epsilon > 0$ に対して $[\epsilon, 1]$ 上でリーマン積分可能であるとします。このとき、$f(x)$ が$[0, 1]$ 上でリーマン積分可能であることを示すには、リーマン積分の定義に立ち返り、上積分と下積分が一致することを示せばよいです。あるいは、$f$が有界であり、不連続点がルベーグ測度0である事を示しても良いです。$f$の不連続点は$x=0$のみなので、ルベーグ測度は0です。

(4) $\epsilon$を十分小さく取れば、$f(x)$の$[0,\epsilon]$での変動は小さく抑えられます。$f$が$[0,1]$上で有界である事と合わせて、$f$が$[0,1]$でリーマン積分可能である事が示せます。

3. 最終的な答え

関数 $f$ は $I = [0, 1]$ 上でリーマン積分可能である。