(1) $\sin 45^{\circ} \cos 75^{\circ}$ の値を求めよ。 (2) $\cos 40^{\circ} + \cos 80^{\circ} + \cos 160^{\circ}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\sin 45^{\circ} \cos 75^{\circ}$ の値を求めよ。

(2) $\cos 40^{\circ} + \cos 80^{\circ} + \cos 160^{\circ}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ である。

$\cos 75^{\circ}$ は、加法定理を用いると

$\cos 75^{\circ} = \cos (45^{\circ} + 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ}$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

したがって、

$\sin 45^{\circ} \cos 75^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{12} - 2}{8} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{8} = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

(2)

$\cos 40^{\circ} + \cos 80^{\circ} + \cos 160^{\circ}$ に対して、和積の公式を利用する。

$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ より、

$\cos 40^{\circ} + \cos 80^{\circ} = 2 \cos \frac{40^{\circ} + 80^{\circ}}{2} \cos \frac{40^{\circ} - 80^{\circ}}{2} = 2 \cos 60^{\circ} \cos (-20^{\circ}) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 20^{\circ} = \cos 20^{\circ}$

したがって、

$\cos 40^{\circ} + \cos 80^{\circ} + \cos 160^{\circ} = \cos 20^{\circ} + \cos 160^{\circ}$

再び和積の公式を用いると

$\cos 20^{\circ} + \cos 160^{\circ} = 2 \cos \frac{20^{\circ} + 160^{\circ}}{2} \cos \frac{20^{\circ} - 160^{\circ}}{2} = 2 \cos 90^{\circ} \cos (-70^{\circ}) = 2 \cdot 0 \cdot \cos 70^{\circ} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

(2) $0$