以下の広義積分の値を求めます。 (2) $\int_{0}^{1} x \log x dx$ (4) $\int_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

1. 問題の内容

以下の広義積分の値を求めます。

(2) $\int_{0}^{1} x \log x dx$

(4) $\int_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

2. 解き方の手順

(2) の積分について：

まず、部分積分を用いて不定積分を計算します。

$u = \log x$ 、 $dv = x dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$ 、 $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

したがって、

$\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

次に、広義積分を計算します。$x \to 0$ のとき $\log x \to -\infty$ なので、極限を取る必要があります。

$\int_{0}^{1} x \log x dx = \lim_{a \to +0} \int_{a}^{1} x \log x dx = \lim_{a \to +0} \left[ \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} \right]_a^1$

$= \lim_{a \to +0} \left( \frac{1}{2} \log 1 - \frac{1}{4} - (\frac{a^2}{2} \log a - \frac{a^2}{4}) \right) = -\frac{1}{4} - \lim_{a \to +0} \frac{a^2}{2} \log a + \lim_{a \to +0} \frac{a^2}{4}$

$\lim_{a \to +0} a^2 \log a = 0$ である（ロピタルの定理を使うか、 $a = e^{-t}$ とおくとわかりやすい）ので、

$\int_{0}^{1} x \log x dx = -\frac{1}{4}$

(4) の積分について：

$u = 1 - x^2$ とおくと、$du = -2x dx$ なので、$x dx = -\frac{1}{2} du$ となります。

$x = -1$ のとき $u = 1 - (-1)^2 = 0$ 、 $x = 0$ のとき $u = 1 - 0^2 = 1$ です。

したがって、

$\int_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{-1/2} du = -\frac{1}{2} \left[ 2u^{1/2} \right]_0^1 = -\left[ \sqrt{u} \right]_0^1 = -(1 - 0) = -1$

3. 最終的な答え

(2) $\int_{0}^{1} x \log x dx = -\frac{1}{4}$

(4) $\int_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = -1$