与えられた積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{a+x}-\sqrt{x}}$ を計算し、その結果が $\frac{2}{3a}((a+x)^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}})$ であることを示す問題です。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{a+x}-\sqrt{x}}$ を計算し、その結果が $\frac{2}{3a}((a+x)^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}})$ であることを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の分母を有理化します。

$\sqrt{a+x} + \sqrt{x}$ を分母と分子に掛けます。

$\int \frac{dx}{\sqrt{a+x}-\sqrt{x}} = \int \frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{x}}{(\sqrt{a+x}-\sqrt{x})(\sqrt{a+x}+\sqrt{x})} dx$

分母を展開すると $(\sqrt{a+x}-\sqrt{x})(\sqrt{a+x}+\sqrt{x}) = (a+x) - x = a$ となるので、積分は

$\int \frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{x}}{a} dx = \frac{1}{a} \int (\sqrt{a+x}+\sqrt{x}) dx$

$\frac{1}{a} \int ((a+x)^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}) dx$

ここで、それぞれの項を積分します。

$\int (a+x)^{\frac{1}{2}} dx = \frac{2}{3}(a+x)^{\frac{3}{2}} + C_1$

$\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C_2$

よって、

$\frac{1}{a} \int ((a+x)^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}) dx = \frac{1}{a}(\frac{2}{3}(a+x)^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}) + C$

$= \frac{2}{3a}((a+x)^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}}) + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{dx}{\sqrt{a+x}-\sqrt{x}} = \frac{2}{3a}((a+x)^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}}) + C$