定積分 $\int_0^{2\pi} \cos(nx) \cos(x) \, dx$ を計算します。ただし、$n$ は正の整数です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^{2\pi} \cos(nx) \cos(x) \, dx$ を計算します。ただし、$n$ は正の整数です。

2. 解き方の手順

積和の公式を利用して、被積分関数を変形します。

積和の公式より、$\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ であるから、

$\cos(nx)\cos(x) = \frac{1}{2}[\cos((n+1)x) + \cos((n-1)x)]$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_0^{2\pi} \cos(nx) \cos(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} [\cos((n+1)x) + \cos((n-1)x)] \, dx$

この積分を計算します。

$\frac{1}{2} \int_0^{2\pi} [\cos((n+1)x) + \cos((n-1)x)] \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin((n+1)x)}{n+1} + \frac{\sin((n-1)x)}{n-1} \right]_0^{2\pi}$

ここで、$n$ は正の整数なので、場合分けが必要です。

(1) $n = 1$ のとき、$\int_0^{2\pi} \cos(x)\cos(x) dx = \int_0^{2\pi} \cos^2(x) dx = \int_0^{2\pi} \frac{1+\cos(2x)}{2} dx = \left[ \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4}\right]_0^{2\pi} = \pi$

(2) $n \neq 1$ のとき、$\sin((n+1)x)$ と $\sin((n-1)x)$ は $x=0$ と $x=2\pi$ でどちらも0になるため、

$\frac{1}{2} \left[ \frac{\sin((n+1)x)}{n+1} + \frac{\sin((n-1)x)}{n-1} \right]_0^{2\pi} = \frac{1}{2} (0 - 0) = 0$

3. 最終的な答え

$n = 1$ のとき、$\pi$

$n \neq 1$ のとき、 $0$