SENSEI AI
About App

与えられた三角関数の方程式および不等式を、 $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で解く。具体的には、以下の問題を解く。 * 練習23 (1): $\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ * 問5: $\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$ * 練習24 (1): $\cos(\theta + \frac{\pi}{6}) \ge \frac{1}{2}$ * 練習24 (2): $\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$ * 練習24 (3): $\tan(\theta + \frac{\pi}{4}) > \sqrt{3}$

解析学三角関数三角方程式三角不等式弧度法
2025/7/7

1. 問題の内容

与えられた三角関数の方程式および不等式を、 0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi の範囲で解く。具体的には、以下の問題を解く。
* 練習23 (1): sin⁡(θ+π6)=32\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}
* 問5: sin⁡(θ+π3)≥12\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) \ge \frac{1}{\sqrt{2}}
* 練習24 (1): cos⁡(θ+π6)≥12\cos(\theta + \frac{\pi}{6}) \ge \frac{1}{2}
* 練習24 (2): sin⁡(θ−π4)<32\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) < \frac{\sqrt{3}}{2}
* 練習24 (3): tan⁡(θ+π4)>3\tan(\theta + \frac{\pi}{4}) > \sqrt{3}

2. 解き方の手順

* 練習23 (1): sin⁡(θ+π6)=32\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}
* θ+π6=t\theta + \frac{\pi}{6} = t とおく。sin⁡t=32\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} を満たす tt は t=π3,2π3t = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}。
* 0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi より、π6≤θ+π6<2π+π6\frac{\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{6} < 2\pi + \frac{\pi}{6}。
* θ+π6=π3\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} のとき、θ=π3−π6=π6\theta = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}。
* θ+π6=2π3\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} のとき、θ=2π3−π6=4π6−π6=3π6=π2\theta = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}。
* 問5: sin⁡(θ+π3)≥12\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) \ge \frac{1}{\sqrt{2}}
* θ+π3=t\theta + \frac{\pi}{3} = t とおく。sin⁡t≥12\sin t \ge \frac{1}{\sqrt{2}} を満たす tt の範囲は、π4≤t≤3π4\frac{\pi}{4} \le t \le \frac{3\pi}{4}。
* 0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi より、π3≤θ+π3<2π+π3\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} < 2\pi + \frac{\pi}{3}。
* π4≤θ+π3≤3π4\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{3\pi}{4} より、π4−π3≤θ≤3π4−π3\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3}。
* 3π−4π12≤θ≤9π−4π12\frac{3\pi - 4\pi}{12} \le \theta \le \frac{9\pi - 4\pi}{12} より、−π12≤θ≤5π12 -\frac{\pi}{12} \le \theta \le \frac{5\pi}{12}。
* 0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi の範囲で考えると、0≤θ≤5π120 \le \theta \le \frac{5\pi}{12} と 2π−π12≤θ<2π2\pi-\frac{\pi}{12} \le \theta < 2\pi より、0≤θ≤5π120 \le \theta \le \frac{5\pi}{12}。しかし、−π12+2π=23π12-\frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{23\pi}{12}であるので π4≤θ+π3≤3π4\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{3\pi}{4}を解くことで、π4−π3≤θ≤3π4−π3 \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3} となり、−π12≤θ≤5π12 \frac{-\pi}{12} \le \theta \le \frac{5\pi}{12} となる。そして0≤θ≤2π0 \le \theta \le 2\piより、答えは0≤θ≤5π120 \le \theta \le \frac{5\pi}{12}。θ+π3 \theta + \frac{\pi}{3} が一周期することを考慮するとθ=[π4−π3,3π4−π3]=[−π12,5π12]\theta = [\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} , \frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{3} ] = [\frac{-\pi}{12} , \frac{5\pi}{12}] となる。0≤θ<2π0 \le \theta < 2\piの条件下では、[23π12,2π],[0,5π12][\frac{23\pi}{12}, 2\pi] , [0, \frac{5\pi}{12}]となる。
* よって、0≤θ≤5π120 \le \theta \le \frac{5\pi}{12} となる。
* 練習24 (1): cos⁡(θ+π6)≥12\cos(\theta + \frac{\pi}{6}) \ge \frac{1}{2}
* θ+π6=t\theta + \frac{\pi}{6} = t とおく。cos⁡t≥12\cos t \ge \frac{1}{2} を満たす tt の範囲は、−π3≤t≤π3-\frac{\pi}{3} \le t \le \frac{\pi}{3}。
* 0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi より、π6≤θ+π6<2π+π6\frac{\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{6} < 2\pi + \frac{\pi}{6}。
* −π3≤θ+π6≤π3-\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{3} は θ\theta が負になるため、不適。θ+π6=2π−π3\theta + \frac{\pi}{6} = 2\pi - \frac{\pi}{3} を考える。
* −π3+2π≤θ+π6≤π3+2π-\frac{\pi}{3} + 2\pi \le \theta + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{3} + 2\pi より、5π3≤θ+π6≤7π3\frac{5\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{6} \le \frac{7\pi}{3}。
* 5π3−π6≤θ≤π3−π6\frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} より、10π−π6≤θ≤2π−π6\frac{10\pi - \pi}{6} \le \theta \le \frac{2\pi - \pi}{6}。
* 9π6≤θ≤π6\frac{9\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{6} より、3π2≤θ≤π6\frac{3\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{6}。
* よって、0≤θ≤π6,3π2≤θ<2π0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{2} \le \theta < 2\pi。
* 練習24 (2): sin⁡(θ−π4)<32\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) < \frac{\sqrt{3}}{2}
* θ−π4=t\theta - \frac{\pi}{4} = t とおく。sin⁡t<32\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2} を満たす tt の範囲は、−5π3<t<π3 -\frac{5\pi}{3} < t < \frac{\pi}{3} を考慮すると、t<π3t < \frac{\pi}{3} または t>2π3+2πnt > \frac{2\pi}{3} + 2\pi n
* 0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi より、−π4≤θ−π4<2π−π4 -\frac{\pi}{4} \le \theta - \frac{\pi}{4} < 2\pi - \frac{\pi}{4}
* −π4≤θ−π4<7π4-\frac{\pi}{4} \le \theta - \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4}より、θ−π4<π3\theta - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3} または θ−π4>2π3\theta - \frac{\pi}{4} > \frac{2\pi}{3}.
* θ<π3+π4\theta < \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} または θ>2π3+π4\theta > \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4}.
* θ<7π12\theta < \frac{7\pi}{12} または θ>11π12\theta > \frac{11\pi}{12}.
* 0≤θ<7π120 \le \theta < \frac{7\pi}{12} または 11π12<θ<2π\frac{11\pi}{12} < \theta < 2\pi
* 練習24 (3): tan⁡(θ+π4)>3\tan(\theta + \frac{\pi}{4}) > \sqrt{3}
* θ+π4=t\theta + \frac{\pi}{4} = t とおく。tan⁡t>3\tan t > \sqrt{3} を満たす tt の範囲は、π3<t<π2\frac{\pi}{3} < t < \frac{\pi}{2}.
* 0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi より、π4≤θ+π4<2π+π4\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} < 2\pi + \frac{\pi}{4}.
* π3<θ+π4<π2\frac{\pi}{3} < \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} より、π3−π4<θ<π2−π4\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}.
* π12<θ<π4\frac{\pi}{12} < \theta < \frac{\pi}{4}.
* また、t=π+π3,π+π2 t = \pi + \frac{\pi}{3}, \pi + \frac{\pi}{2} も同様の条件を満たす.よって,π+π3−π4<θ<π+π2−π4 \pi + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} < \theta < \pi + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} となり、13π12<θ<5π4 \frac{13\pi}{12} < \theta < \frac{5\pi}{4}

3. 最終的な答え

* 練習23 (1): θ=π6,π2\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}
* 問5: 0≤θ≤5π120 \le \theta \le \frac{5\pi}{12}
* 練習24 (1): 0≤θ≤π6,3π2≤θ<2π0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{2} \le \theta < 2\pi
* 練習24 (2): 0≤θ<7π120 \le \theta < \frac{7\pi}{12} または 11π12<θ<2π\frac{11\pi}{12} < \theta < 2\pi
* 練習24 (3): π12<θ<π4\frac{\pi}{12} < \theta < \frac{\pi}{4} または 13π12<θ<5π4\frac{13\pi}{12} < \theta < \frac{5\pi}{4}

「解析学」の関連問題

定積分 $\int_{-2}^{1} |x^2 - x| dx$ を計算します。

定積分絶対値積分計算
2025/7/7

$I_n = \int \frac{dx}{(ax^2 - b^2)^n}$ という積分が与えられています。特に、$I_1 = \frac{1}{2ab} \log |\frac{ax-b}{ax+b...

積分部分積分漸化式
2025/7/7

$I_n = \int \frac{dt}{(a^2 t^2 - b^2)^n}$ が与えられたとき、$I_{n+1}$ を求める問題を解きます。

積分部分積分漸化式
2025/7/7

問題は、次の積分を$I_n$とおくというものです。 $I_n = \int \frac{dt}{(a^2t^2 - b^2)^n}$

積分部分分数分解定積分
2025/7/7

問題は、積分 $I_n = \int \frac{dt}{(a^2t^2 - b^2)^n}$ を定義し、$I_1$ が与えられたときに、$I_{n+1}$ を $I_n$ を用いて表す漸化式が与えら...

積分漸化式不定積分
2025/7/7

曲線 $y = \frac{1}{x}$ ($x > 0$) を $C$ とする。$C$ 上の点 $(t, \frac{1}{t})$ における接線の方程式を $y = ax + b$ とする。 (1...

接線積分不等式導関数定積分
2025/7/7

与えられた積分 $I_n$ と、その漸化式、$I_1$ の値を求める問題です。 $I_n = \int \frac{dt}{(a^2t^2 - b^2)^n}$ と定義され、$I_1 = \frac{...

積分漸化式不定積分
2025/7/7

3次曲線 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が、$x=2$ で $x$ 軸に接し、原点における接線の方程式が $y = -2x$ であるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を...

3次関数接線微分代数
2025/7/7

与えられた積分 $I_n = \int \frac{dt}{(a^2t^2 - b^2)^n}$ と、$J_n = \int \frac{dt}{(b^2 - a^2t^2)^n}$ に関する問題です...

積分漸化式部分積分定積分
2025/7/7

関数 $f(x) = x(x-3)(x-4)$ について、 (1) $x=0$ から $x=2$ までの平均変化率を求めよ。 (2) その平均変化率と等しい微分係数を持つ $f(x)$ の $x$ の...

微分平均変化率微分係数平均値の定理二次方程式
2025/7/7