方程式 $\arctan x = \arcsin \frac{1}{3}$ を解く。

## 問題の解答

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1. 問題の内容

方程式 $\arctan x = \arcsin \frac{1}{3}$ を解く。

2. 解き方の手順

$\arcsin \frac{1}{3} = \theta$ とおくと、$\sin \theta = \frac{1}{3}$ となる。

$\theta$ は $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲にあるので、$\cos \theta > 0$ である。

$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ より、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

したがって、$\cos \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ となる。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\arctan x = \arcsin \frac{1}{3} = \theta$ より、$x = \tan \theta$

したがって、$x = \frac{\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{\sqrt{2}}{4}$

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1. 問題の内容

$\cos(2\arcsin x)$ (ただし $|x| \le 1$) を $x$ の多項式で表す。

2. 解き方の手順

$\arcsin x = y$ とおくと、$x = \sin y$ となる。

$\cos(2\arcsin x) = \cos(2y) = \cos^2 y - \sin^2 y$

$\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - x^2$

$\sin^2 y = x^2$

したがって、$\cos(2y) = (1 - x^2) - x^2 = 1 - 2x^2$

3. 最終的な答え

$1 - 2x^2$

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1. 問題の内容

等式 $\arctan \frac{5}{4} - \arctan \frac{1}{9} = \frac{\pi}{4}$ が成立することを示す。

2. 解き方の手順

$\arctan \frac{5}{4} = A$、$\arctan \frac{1}{9} = B$ とおく。

$\tan A = \frac{5}{4}$、$\tan B = \frac{1}{9}$ である。

$\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} = \frac{\frac{5}{4} - \frac{1}{9}}{1 + \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{9}} = \frac{\frac{45 - 4}{36}}{1 + \frac{5}{36}} = \frac{\frac{41}{36}}{\frac{41}{36}} = 1$

したがって、$A - B = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$

$\arctan \frac{5}{4} - \arctan \frac{1}{9} = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

等式 $\arctan \frac{5}{4} - \arctan \frac{1}{9} = \frac{\pi}{4}$ が成立する。