$x > 0$ のとき、次の不等式を証明する。 (1) $\sqrt{1+x} < 1 + \frac{1}{2}x$ (2) $\log(1+x) < \frac{1+x}{2}$

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、次の不等式を証明する。

(1) $\sqrt{1+x} < 1 + \frac{1}{2}x$

(2) $\log(1+x) < \frac{1+x}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{1+x} < 1 + \frac{1}{2}x$ の証明

まず、両辺を2乗することを考える。

$\left(\sqrt{1+x}\right)^2 = 1+x$

$\left(1 + \frac{1}{2}x\right)^2 = 1 + x + \frac{1}{4}x^2$

よって、$x>0$ のとき、$\frac{1}{4}x^2 > 0$ であるから

$1+x < 1 + x + \frac{1}{4}x^2$

つまり、$\left(\sqrt{1+x}\right)^2 < \left(1 + \frac{1}{2}x\right)^2$

$x>0$ のとき、$\sqrt{1+x} > 0$ かつ $1+\frac{1}{2}x > 0$である。

したがって、$\sqrt{1+x} < 1 + \frac{1}{2}x$ が成立する。

(2) $\log(1+x) < \frac{1+x}{2}$ の証明

この不等式が間違っているようです。おそらく問題の意図は$\log(1+x)<\frac{x}{2}$を証明することだと思います。

$f(x) = \frac{x}{2} - \log(1+x)$ とおく。

$x > 0$ のとき、$f(x) > 0$ を示す。

$f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{1+x} = \frac{1+x-2}{2(1+x)} = \frac{x-1}{2(1+x)}$

$f'(x)=0$ となるのは $x=1$ のとき。

$0 < x < 1$ のとき $f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少関数。

$x > 1$ のとき $f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加関数。

よって、$f(x)$ は $x=1$ で最小値をとる。

$f(1) = \frac{1}{2} - \log(2)$

$\log(2) \approx 0.693$ であるから $f(1) = 0.5 - 0.693 = -0.193 < 0$

$x = 0$ のとき、$f(0) = 0 - \log(1) = 0$ である。

$f'(x) = \frac{x-1}{2(1+x)}$ であり、$x>0$ において、$x=1$ で最小値を持つ。

問題が$\log(1+x) < \frac{x}{2}$であれば、

$g(x)=\frac{x}{2} - \log(1+x)$とおくと、

$g'(x)=\frac{1}{2} - \frac{1}{1+x} = \frac{x-1}{2(1+x)}$となる。

$x=1$で$g'(x)=0$となる。

$x > 1$では$g'(x) > 0$であり、$0<x<1$では$g'(x) < 0$である。

また、$g(0) = 0$である。

$g(x)$は$x=1$で最小値をとるが、$g(0)=0$であるので、$g(x)>0$とは限らない。

なので、この不等式は成り立たない。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{1+x} < 1 + \frac{1}{2}x$

(2) $\log(1+x) < \frac{1+x}{2}$ は誤り。

問題が$\log(1+x)<\frac{x}{2}$であれば、それも誤り。