定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - 2\cos x| dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - 2\cos x| dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \sin x - 2\cos x$ とおきます。$f(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$\sin x = 2\cos x$ より、$\tan x = 2$ となります。

$x = \arctan 2$ となります。$0 < \arctan 2 < \frac{\pi}{2}$ なので、積分区間 $[0, \frac{\pi}{2}]$ で $f(x)$ の符号が変わります。

$\arctan 2 = \alpha$ とおくと、$0 \le x \le \alpha$ で $f(x) \le 0$ であり、$\alpha \le x \le \frac{\pi}{2}$ で $f(x) \ge 0$ となります。

$\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$、$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$です。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - 2\cos x| dx = \int_{0}^{\alpha} (2\cos x - \sin x) dx + \int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - 2\cos x) dx$

$= [2\sin x + \cos x]_{0}^{\alpha} + [-\cos x - 2\sin x]_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}}$

$= (2\sin \alpha + \cos \alpha) - (2\sin 0 + \cos 0) + (-\cos \frac{\pi}{2} - 2\sin \frac{\pi}{2}) - (-\cos \alpha - 2\sin \alpha)$

$= (2\sin \alpha + \cos \alpha) - 1 + (-2) - (-\cos \alpha - 2\sin \alpha)$

$= 4\sin \alpha + 2\cos \alpha - 3$

$= 4(\frac{2}{\sqrt{5}}) + 2(\frac{1}{\sqrt{5}}) - 3$

$= \frac{8}{\sqrt{5}} + \frac{2}{\sqrt{5}} - 3 = \frac{10}{\sqrt{5}} - 3 = 2\sqrt{5} - 3$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{5} - 3$