$x > 0$ のとき、次の不等式を証明する。 (1) $\sqrt{1+x} < 1 + \frac{1}{2}x$ (2) $\log(1+x) < \frac{1+x}{2}$

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、次の不等式を証明する。

(1) $\sqrt{1+x} < 1 + \frac{1}{2}x$

(2) $\log(1+x) < \frac{1+x}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \sqrt{1+x}$ とおく。$x > 0$ で $f(x) > 0$ を示す。

まず、$f(0) = 1 + \frac{1}{2}(0) - \sqrt{1+0} = 1 - 1 = 0$。

次に、$f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{1+x}}$。

$f'(x) = 0$ となるのは、$\frac{1}{2} = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}$ より、$\sqrt{1+x} = 1$、つまり、$1+x = 1$、$x = 0$。

$x > 0$ では、$f'(x) > 0$ である。なぜなら、$x > 0$ のとき、$\sqrt{1+x} > 1$ なので、$\frac{1}{2\sqrt{1+x}} < \frac{1}{2}$。したがって、$f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{1+x}} > 0$。

よって、$x > 0$ において、$f(x)$ は単調増加である。$f(0) = 0$ なので、$x > 0$ で $f(x) > 0$。

したがって、$\sqrt{1+x} < 1 + \frac{1}{2}x$ が証明された。

(2) 問題文が不完全なので、不等式を $\log(1+x) < \frac{x}{2}$ と解釈する。

$f(x) = \frac{x}{2} - \log(1+x)$ とおく。$x > 0$ で $f(x) > 0$ を示す。

$f(0) = \frac{0}{2} - \log(1+0) = 0 - \log(1) = 0$。

$f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{1+x} = \frac{1+x - 2}{2(1+x)} = \frac{x-1}{2(1+x)}$。

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 1$。

$0 < x < 1$ のとき、$f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は単調減少。

$x > 1$ のとき、$f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は単調増加。

したがって、$f(x)$ は $x=1$ で最小値をとる。

$f(1) = \frac{1}{2} - \log(2) \approx 0.5 - 0.693 = -0.193 < 0$。

よって、$x > 0$ で $f(x) > 0$ が成り立つとは限らない。

しかし、$\log(1+x) < \frac{1+x}{2}$と解釈すると、正しくない。$x=1$を代入すると、$\log(2) < \frac{2}{2}=1$となり正しいが、$x=0$を代入すると、$\log(1) < \frac{1}{2}$より$0 < \frac{1}{2}$となり正しい。

$\log(1+x) < \frac{x}{2}$の証明を試みる。

$f(x)=\frac{x}{2} - \log(1+x)$とおく。$f(0) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{1+x} = \frac{x-1}{2(1+x)}$

$f'(x) = 0$となるのは、$x=1$

$0<x<1$で$f'(x)<0$、 $x>1$で$f'(x)>0$となる。

$f(1)=\frac{1}{2} - \log(2) < 0$なので、$x>0$で常に$f(x)>0$とはならない。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{1+x} < 1 + \frac{1}{2}x$

(2) $\log(1+x) < \frac{x}{2}$ は正しくない

(2) $\log(1+x) < \frac{1+x}{2}$ は正しくない