$x > 0$ のとき、次の不等式を証明する問題です。 (2) $\log(1+x) < \frac{1+x}{2}$

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、次の不等式を証明する問題です。

(2) $\log(1+x) < \frac{1+x}{2}$

2. 解き方の手順

この問題は、与えられた不等式を証明するためのものです。不等式を直接証明するのが難しい場合は、関数を定義してその増減を調べることで証明できることがあります。ただし、不等式は $\log(1+x) < \frac{x+1}{2}$ ではなく、恐らく $\log(1+x) < x$ だと思われます。そこで、$\log(1+x) < x$ を証明します。

関数 $f(x) = x - \log(1+x)$ を定義します。

$f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$

$x>0$ のとき、$f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は単調増加です。

$f(0) = 0 - \log(1+0) = 0$

したがって、$x > 0$ のとき、$f(x) > f(0) = 0$ となります。

よって、$x - \log(1+x) > 0$ より、$\log(1+x) < x$ が証明されました。

もし $\log(1+x) < \frac{1+x}{2}$ の不等式を証明する必要がある場合、関数 $f(x) = \frac{1+x}{2} - \log(1+x)$ を定義し、同様の手順で証明を試みることができます。

3. 最終的な答え

$\log(1+x) < x$