高さによって断面積が変化する容器に、一定の速度 $a$ で液体を注ぎ込む。時刻 $t$ における液体の体積を $V$、液面の面積を $S$、液面の高さを $h$ とする。 (1) $S = \frac{dV}{dh}$ であることを、$\Delta V$, $\Delta h$ および、導関数 $\frac{dV}{dh}$ の定義を用いて説明する。 (2) $S$ と $\frac{dh}{dt}$ の関係を表す等式を導出する。 (3) 液面の上昇速度について、上記の観察からわかることを、日常経験を踏まえて述べる。

1. 問題の内容

高さによって断面積が変化する容器に、一定の速度 $a$ で液体を注ぎ込む。時刻 $t$ における液体の体積を $V$、液面の面積を $S$、液面の高さを $h$ とする。

(1) $S = \frac{dV}{dh}$ であることを、$\Delta V$, $\Delta h$ および、導関数 $\frac{dV}{dh}$ の定義を用いて説明する。

(2) $S$ と $\frac{dh}{dt}$ の関係を表す等式を導出する。

(3) 液面の上昇速度について、上記の観察からわかることを、日常経験を踏まえて述べる。

2. 解き方の手順

(1) $S = \frac{dV}{dh}$ の証明:

液面の高さが $\Delta h$ だけ増加したとき、体積の変化を $\Delta V$ とする。このとき、体積変化はおよそ底面積 $S$ と高さ $\Delta h$ の積で近似できる。

$\Delta V \approx S \Delta h$

両辺を $\Delta h$ で割ると、

$\frac{\Delta V}{\Delta h} \approx S$

$\Delta h$ を限りなく0に近づける極限をとると、

$\lim_{\Delta h \to 0} \frac{\Delta V}{\Delta h} = \frac{dV}{dh}$

したがって、

$S = \frac{dV}{dh}$

(2) $S$ と $\frac{dh}{dt}$ の関係式:

単位時間あたりに注入される液体の体積は $a$ であるから、

$\frac{dV}{dt} = a$

(1)より、$S = \frac{dV}{dh}$ なので、$dV = S dh$。これを時間 $t$ で微分すると、

$\frac{dV}{dt} = S \frac{dh}{dt}$

$\frac{dV}{dt} = a$を代入すると、

$a = S \frac{dh}{dt}$

したがって、$S$ と $\frac{dh}{dt}$ の関係は、

$S = \frac{a}{\frac{dh}{dt}}$

または、

$\frac{dh}{dt} = \frac{a}{S}$

(3) 液面の上昇速度について:

(2) の結果より、$\frac{dh}{dt} = \frac{a}{S}$ である。

液面の面積 $S$ が大きいほど、液面の上昇速度 $\frac{dh}{dt}$ は小さくなる。逆に、液面の面積 $S$ が小さいほど、液面の上昇速度 $\frac{dh}{dt}$ は大きくなる。

日常経験では、例えば、口が広い容器に水を注ぐと、水の高さはゆっくりと上昇する。一方、口が狭い容器に同じ量の水を注ぐと、水の高さは速く上昇する。

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{dV}{dh}$

(2) $\frac{dh}{dt} = \frac{a}{S}$

(3) 液面の面積が大きいほど、液面の上昇速度は小さくなる。液面の面積が小さいほど、液面の上昇速度は大きくなる。