定積分 $\int_{-1}^{3} \frac{1}{x^2+3} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{3} \frac{1}{x^2+3} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{1}{x^2+3} dx$ を求めます。

$x = \sqrt{3} \tan \theta$ と置換すると、$dx = \sqrt{3} \sec^2 \theta d\theta$ となります。

$\int \frac{1}{x^2+3} dx = \int \frac{1}{3\tan^2\theta + 3} \sqrt{3}\sec^2\theta d\theta$

$= \int \frac{\sqrt{3}\sec^2\theta}{3(\tan^2\theta + 1)} d\theta$

$= \int \frac{\sqrt{3}\sec^2\theta}{3\sec^2\theta} d\theta$

$= \int \frac{\sqrt{3}}{3} d\theta$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} \theta + C$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan \left( \frac{x}{\sqrt{3}} \right) + C$

したがって、$\int \frac{1}{x^2+3} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{x}{\sqrt{3}} \right) + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{-1}^{3} \frac{1}{x^2+3} dx = \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{x}{\sqrt{3}} \right) \right]_{-1}^{3}$

$= \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{3}{\sqrt{3}} \right) - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{-1}{\sqrt{3}} \right)$

$= \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\sqrt{3}) - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)$

$= \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \left( -\frac{\pi}{6} \right)$

$= \frac{\pi}{3\sqrt{3}} + \frac{\pi}{6\sqrt{3}}$

$= \frac{2\pi + \pi}{6\sqrt{3}}$

$= \frac{3\pi}{6\sqrt{3}}$

$= \frac{\pi}{2\sqrt{3}}$

$= \frac{\pi \sqrt{3}}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi \sqrt{3}}{6}$