エレベータがシャフト内を垂直に上昇しており、時刻 $t$ での位置（高さ）を $X(t)$ とします。$\Delta X = X(t+\Delta t) - X(t)$ と定義します。 (1) $\Delta X$ と $\frac{\Delta X}{\Delta t}$ はそれぞれ何を表すか説明します。 (2) $\frac{dX}{dt}$ の定義を $\Delta X$ と $\Delta t$ を用いて記述します。 (3) $\frac{dX}{dt}$ がエレベータの時刻 $t$ での速度を表す理由を説明します。 (4) $X(t)$ が与えられたグラフのように変化するとき、速度の変化の様子をグラフで表し、その根拠を述べます。

## 回答

1. 問題の内容

エレベータがシャフト内を垂直に上昇しており、時刻 $t$ での位置（高さ）を $X(t)$ とします。$\Delta X = X(t+\Delta t) - X(t)$ と定義します。

(1) $\Delta X$ と $\frac{\Delta X}{\Delta t}$ はそれぞれ何を表すか説明します。

(2) $\frac{dX}{dt}$ の定義を $\Delta X$ と $\Delta t$ を用いて記述します。

(3) $\frac{dX}{dt}$ がエレベータの時刻 $t$ での速度を表す理由を説明します。

(4) $X(t)$ が与えられたグラフのように変化するとき、速度の変化の様子をグラフで表し、その根拠を述べます。

2. 解き方の手順

(1) $\Delta X$ は、時刻 $t$ から $t + \Delta t$ までの位置の変化量、すなわち変位を表します。$\frac{\Delta X}{\Delta t}$ は、時刻 $t$ から $t + \Delta t$ までの平均速度を表します。

(2) $\frac{dX}{dt}$ の定義は、$\Delta t$ を限りなく0に近づけたときの $\frac{\Delta X}{\Delta t}$ の極限です。つまり、

$\frac{dX}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta X}{\Delta t}$

(3) $\frac{dX}{dt}$ が時刻 $t$ での速度を表すのは、平均速度 $\frac{\Delta X}{\Delta t}$ で $\Delta t$ を限りなく小さくすることで、時刻 $t$ における瞬間の速度を表すことができるからです。 (1)より$\frac{\Delta X}{\Delta t}$ は平均速度を表し、(2)より$\frac{dX}{dt}$ は $\frac{\Delta X}{\Delta t}$ の$\Delta t \to 0$ の極限だからです。

(4) 与えられた $X(t)$ のグラフはS字カーブを描いています。これは、最初と最後は変化が緩やかで、中間地点では変化が急であることを意味します。速度は位置の時間微分であるため、グラフの傾きが速度を表します。したがって、速度は最初と最後は小さく、中間地点で最大になるようなグラフになります。

速度のグラフを作成するには、まず $X(t)$ のグラフの傾きを読み取ります。

* 初期段階では、傾きは緩やかなため、速度は小さいです。

* グラフの中央部分では、傾きが急になるため、速度は大きくなります。

* 終盤では、傾きが再び緩やかになるため、速度は小さくなります。

したがって、速度のグラフは、初期と終盤で小さく、中央で最大になるようなベル型のグラフになります。

3. 最終的な答え

(1) $\Delta X$: 時刻 $t$ から $t + \Delta t$ までの変位

$\frac{\Delta X}{\Delta t}$: 時刻 $t$ から $t + \Delta t$ までの平均速度

(2) $\frac{dX}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta X}{\Delta t}$

(3) $\frac{dX}{dt}$ は平均速度 $\frac{\Delta X}{\Delta t}$ で $\Delta t$ を限りなく小さくすることで、時刻 $t$ における瞬間の速度を表すからです。

(4) 速度のグラフはベル型になります。 グラフは省略します。