次の定積分の値を求めよ。 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log(1 + \tan x) \, dx$

1. 問題の内容

次の定積分の値を求めよ。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log(1 + \tan x) \, dx$

2. 解き方の手順

まず、$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log(1 + \tan x) \, dx$ とおく。

次に、$x = \frac{\pi}{4} - t$ と変数変換を行う。すると、$dx = -dt$ となる。また、積分範囲は $x: 0 \to \frac{\pi}{4}$ に対して $t: \frac{\pi}{4} \to 0$ となる。

したがって、

$I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{0} \log(1 + \tan(\frac{\pi}{4} - t)) (-dt)$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log(1 + \tan(\frac{\pi}{4} - t)) \, dt$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log(1 + \frac{\tan \frac{\pi}{4} - \tan t}{1 + \tan \frac{\pi}{4} \tan t}) \, dt$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log(1 + \frac{1 - \tan t}{1 + \tan t}) \, dt$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log(\frac{1 + \tan t + 1 - \tan t}{1 + \tan t}) \, dt$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log(\frac{2}{1 + \tan t}) \, dt$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\log 2 - \log(1 + \tan t)) \, dt$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log 2 \, dt - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log(1 + \tan t) \, dt$

$= \log 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} dt - I$

$= \log 2 [t]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - I$

$= \frac{\pi}{4} \log 2 - I$

したがって、$I = \frac{\pi}{4} \log 2 - I$ となる。

これを解くと、$2I = \frac{\pi}{4} \log 2$ より $I = \frac{\pi}{8} \log 2$ となる。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{8} \log 2$