定積分 $\int_{-1}^{3} \sqrt{|x|} \, dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{3} \sqrt{|x|} \, dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

絶対値関数 $|x|$ は、以下のように定義されます。

$|x| = \begin{cases} x & (x \geq 0) \\ -x & (x < 0) \end{cases}$

したがって、積分区間 $[-1, 3]$ を $x = 0$ で分割し、積分を分けて計算します。

$\int_{-1}^{3} \sqrt{|x|} \, dx = \int_{-1}^{0} \sqrt{-x} \, dx + \int_{0}^{3} \sqrt{x} \, dx$

まず、$\int_{-1}^{0} \sqrt{-x} \, dx$ を計算します。$u = -x$ と置換すると、$du = -dx$ となり、$dx = -du$ です。$x = -1$ のとき $u = 1$、$x = 0$ のとき $u = 0$ となるので、積分範囲は $1$ から $0$ に変わります。

$\int_{-1}^{0} \sqrt{-x} \, dx = \int_{1}^{0} \sqrt{u} \, (-du) = - \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2}} \, du = \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} \, du$

$\int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} \, du = \left[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} (1^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}$

次に、$\int_{0}^{3} \sqrt{x} \, dx$ を計算します。

$\int_{0}^{3} \sqrt{x} \, dx = \int_{0}^{3} x^{\frac{1}{2}} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{3} = \frac{2}{3} (3^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

したがって、

$\int_{-1}^{3} \sqrt{|x|} \, dx = \frac{2}{3} + 2\sqrt{3} = \frac{2}{3} + \frac{6\sqrt{3}}{3} = \frac{2 + 6\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2 + 6\sqrt{3}}{3}$