与えられた関数 $y = x^3 - x^2 - x$ の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^3 - x^2 - x$ の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数 $y = x^3 - x^2 - x$ を微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$$y' = 3x^2 - 2x - 1$$

(2) 次に、$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。これは極値を取る可能性のある点（臨界点）です。

$$3x^2 - 2x - 1 = 0$$

この二次方程式を解きます。因数分解を用いると、

$$(3x + 1)(x - 1) = 0$$

したがって、$x = -\frac{1}{3}$ または $x = 1$ です。

(3) 次に、それぞれの $x$ の値に対して、第二導関数 $y''$ を求めます。

$$y'' = 6x - 2$$

(4) $x = -\frac{1}{3}$ のとき、$y''$ の値を計算します。

$$y''(-\frac{1}{3}) = 6(-\frac{1}{3}) - 2 = -2 - 2 = -4$$

$y''(-\frac{1}{3}) < 0$ であるため、$x = -\frac{1}{3}$ で極大値を取ります。

極大値は、

$$y(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3 - (-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{27} - \frac{3}{27} + \frac{9}{27} = \frac{5}{27}$$

(5) $x = 1$ のとき、$y''$ の値を計算します。

$$y''(1) = 6(1) - 2 = 6 - 2 = 4$$

$y''(1) > 0$ であるため、$x = 1$ で極小値を取ります。

極小値は、

$$y(1) = (1)^3 - (1)^2 - (1) = 1 - 1 - 1 = -1$$

3. 最終的な答え

極大値：$x = -\frac{1}{3}$ のとき $y = \frac{5}{27}$

極小値：$x = 1$ のとき $y = -1$