以下の4つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to -\infty} 2^x$ (2) $\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{3})^x$ (3) $\lim_{x \to \infty} \log_2 x$ (4) $\lim_{x \to +0} \log_{0.5} x$

1. 問題の内容

以下の4つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to -\infty} 2^x$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{3})^x$

(3) $\lim_{x \to \infty} \log_2 x$

(4) $\lim_{x \to +0} \log_{0.5} x$

2. 解き方の手順

(1) $x \to -\infty$ のとき、$2^x$ は0に近づきます。

(2) $x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{3} < 1$ なので、$(\frac{1}{3})^x$ は0に近づきます。

(3) $x \to \infty$ のとき、$\log_2 x$ は正の無限大に発散します。

(4) $x \to +0$ のとき、底が0.5である対数は、負の無限大に発散します。

$y = \log_{0.5} x$ とすると、$0.5^y = x$ です。$x \to +0$ のとき、$y \to \infty$ となる必要があります。

$0.5^y \to 0$ となるには、$y \to \infty$ となればいいので、$y \to \infty$ となります。しかし、$y = \log_{0.5}x$ が負の無限大に発散する関数なので、$x\rightarrow +0$のとき、$\log_{0.5}x$は$\infty$に発散します。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to -\infty} 2^x = 0$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{3})^x = 0$

(3) $\lim_{x \to \infty} \log_2 x = \infty$

(4) $\lim_{x \to +0} \log_{0.5} x = \infty$