$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、以下の2つの不等式を解く問題です。 (1) $\cos 2\theta \le \sin \theta$ (2) $\sin 2\theta < \sqrt{3} \cos \theta$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、以下の2つの不等式を解く問題です。

(1) $\cos 2\theta \le \sin \theta$

(2) $\sin 2\theta < \sqrt{3} \cos \theta$

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2\theta \le \sin \theta$ の場合

まず、$\cos 2\theta$ を $\sin$ で表します。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$

したがって、不等式は次のようになります。

$1 - 2\sin^2 \theta \le \sin \theta$

$2\sin^2 \theta + \sin \theta - 1 \ge 0$

ここで、$x = \sin \theta$ とおくと、

$2x^2 + x - 1 \ge 0$

$(2x - 1)(x + 1) \ge 0$

したがって、$x \le -1$ または $x \ge \frac{1}{2}$

$x = \sin \theta$ なので、 $-1 \le \sin \theta \le 1$ であることを考慮すると、

$\sin \theta \le -1$ または $\sin \theta \ge \frac{1}{2}$ となります。

$\sin \theta = -1$ のとき、$\theta = \frac{3\pi}{2}$

$\sin \theta \ge \frac{1}{2}$ のとき、$\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5\pi}{6}$

したがって、$\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5\pi}{6}$または、$\theta = \frac{3\pi}{2}$です。

(2) $\sin 2\theta < \sqrt{3} \cos \theta$ の場合

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ なので、

$2\sin \theta \cos \theta < \sqrt{3} \cos \theta$

$2\sin \theta \cos \theta - \sqrt{3} \cos \theta < 0$

$\cos \theta (2\sin \theta - \sqrt{3}) < 0$

$\cos \theta = 0$ となるのは、$\theta = \frac{\pi}{2}$ または $\theta = \frac{3\pi}{2}$ のときです。

$2\sin \theta - \sqrt{3} = 0$ から $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、$\theta = \frac{\pi}{3}$ または $\theta = \frac{2\pi}{3}$ のときです。

$\cos \theta$ と $(2\sin \theta - \sqrt{3})$ の符号で場合分けします。

(i) $\cos \theta > 0$ かつ $2\sin \theta - \sqrt{3} < 0$ のとき

$\cos \theta > 0$ より、$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$

$2\sin \theta - \sqrt{3} < 0$ より、$\sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$0 \le \theta < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} < \theta < 2\pi$

よって、$0 \le \theta < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$

(ii) $\cos \theta < 0$ かつ $2\sin \theta - \sqrt{3} > 0$ のとき

$\cos \theta < 0$ より、$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$

$2\sin \theta - \sqrt{3} > 0$ より、$\sin \theta > \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{2\pi}{3}$ではない。

よって、$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3}$

したがって、$0 \le \theta < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5\pi}{6}$, $\theta = \frac{3\pi}{2}$

(2) $0 \le \theta < \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$