座標平面上の点PはA(-8,8)から直線 $y=-x$ 上をx座標が1秒あたり2増加するように動き、点Qは原点Oから直線 $y=4x$ 上をx座標が1秒あたり1増加するように動く。出発してからt秒後の点P, Qについて考える。 (1) 点Pが原点Oに到達する時刻を求め、$\triangle OPP'$ と $\triangle OQQ'$ の面積の和Sをtで表し、Sの最小値を求める。ここでP'はPのx座標と等しいx軸上の点、Q'はQのx座標と等しいx軸上の点とする。 (2) $0 < a < \text{ア} - 1$ を満たす定数aに対し、区間 $a \le t \le a+1$ においてSが $t=a$ で最大となるようなaの値の範囲を求める。

1. 問題の内容

座標平面上の点PはA(-8,8)から直線 $y=-x$ 上をx座標が1秒あたり2増加するように動き、点Qは原点Oから直線 $y=4x$ 上をx座標が1秒あたり1増加するように動く。出発してからt秒後の点P, Qについて考える。

(1) 点Pが原点Oに到達する時刻を求め、$\triangle OPP'$ と $\triangle OQQ'$ の面積の和Sをtで表し、Sの最小値を求める。ここでP'はPのx座標と等しいx軸上の点、Q'はQのx座標と等しいx軸上の点とする。

(2) $0 < a < \text{ア} - 1$ を満たす定数aに対し、区間 $a \le t \le a+1$ においてSが $t=a$ で最大となるようなaの値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、点Pの座標を求める。点A(-8, 8)から出発してx座標が1秒あたり2増加するので、t秒後の点Pのx座標は $-8 + 2t$ となる。点Pは直線 $y=-x$ 上にあるので、y座標は $-(-8+2t) = 8 - 2t$ となる。

したがって、点Pの座標は $(-8+2t, 8-2t)$ となる。

点Pが原点Oに到達するのは、$-8+2t = 0$ かつ $8-2t = 0$ のときなので、$t=4$ となる。したがって、ア = 4。

次に、点Qの座標を求める。点Qは原点Oから出発してx座標が1秒あたり1増加するので、t秒後の点Qのx座標はtとなる。点Qは直線 $y=4x$ 上にあるので、y座標は $4t$ となる。

したがって、点Qの座標は $(t, 4t)$ となる。

$\triangle OPP'$ の面積は $\frac{1}{2} \times |(-8+2t)| \times |8-2t| = \frac{1}{2} (8-2t)^2 = 2(4-t)^2 = 2t^2 - 16t + 32$ となる。

$\triangle OQQ'$ の面積は $\frac{1}{2} \times |t| \times |4t| = 2t^2$ となる。

したがって、面積の和Sは

$S = 2t^2 - 16t + 32 + 2t^2 = 4t^2 - 16t + 32$ となる。

$S = 4(t^2 - 4t) + 32 = 4(t^2 - 4t + 4) + 32 - 16 = 4(t-2)^2 + 16$ となる。

$0 < t < 4$ の範囲において、Sは $t=2$ で最小値16をとる。したがって、キ = 2, クケ = 16。

Sが $t=a$ で最大となるのは、放物線の軸から遠い方なので、$a$ が 0に近いか、または $a+1$ が 4に近いとき。

$a \le t \le a+1$ において $t=a$ で最大となるのは、$a+1 \le 2$ つまり $a \le 1$ のとき。または $a \ge 2$ のとき。

$a+1 \le 2$ より $a \le 1$。

$a \ge 2$ のとき、$a \le t \le a+1 < 4$ に注意すると、$S(a)=4a^2 - 16a + 32$, $S(a+1) = 4(a+1)^2 - 16(a+1) + 32 = 4(a^2 + 2a + 1) - 16a - 16 + 32 = 4a^2 + 8a + 4 - 16a + 16 = 4a^2 - 8a + 20$.

$S(a) > S(a+1)$ を解くと、$4a^2 - 16a + 32 > 4a^2 - 8a + 20$ より $-8a > -12$ なので $a < \frac{3}{2}$.

$a > 2$ なので $2 < a < 3/2$ は矛盾。したがって$a \le 1$ の場合だけを考えれば良い。

ただし、$a < \text{ア} - 1 = 4-1 = 3$。$a \le 1$ はこれを満たす。

軸 $t=2$ から遠い方の端点で $S$ が最大となるので、$a \le 2$ かつ $a+1 \ge 2$ ならば $a+1=2$, つまり $a=1$ で $S$ が最小になる。

$a \le 2$ かつ $a+1 \le 2$のとき，$S$は$a$で最大。すなわち $a \le 1$.

$a$ は $0 < a < 3$ の範囲で、$0 < a \le 1$ で$S$は$t=a$で最大となる。

$0 < a \le 1$。

$0 < a \le \frac{3}{2}$.

よって、$0 < a \le 1$

したがって、コ = 1, サ = 1。

3. 最終的な答え

ア = 4

イ = 4

ウエ = 16

オカ = 32

キ = 2

クケ = 16

コ = 1

サ = 1