座標空間の $1 \le z \le 2$ の部分に立体 $R$ があり、$R$ を平面 $z=t$ ($1 \le t \le 2$) で切ったときの断面が $$ \begin{cases} z = t \\ x^2 + y^2 \ge t^2 \\ x^2 + y^2 \le 4 \end{cases} $$ で表されるとき、立体の体積 $V$ を求める。

1. 問題の内容

座標空間の $1 \le z \le 2$ の部分に立体 $R$ があり、$R$ を平面 $z=t$ ($1 \le t \le 2$) で切ったときの断面が

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\begin{cases}

z = t \\

x^2 + y^2 \ge t^2 \\

x^2 + y^2 \le 4

\end{cases}

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で表されるとき、立体の体積 $V$ を求める。

2. 解き方の手順

平面 $z = t$ で切った断面は、半径2の円から半径 $t$ の円を取り除いたドーナツ型になる。その面積 $S(t)$ は、

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S(t) = \pi (2^2) - \pi (t^2) = 4\pi - \pi t^2 = \pi (4 - t^2)

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となる。

立体 $R$ の体積 $V$ は、$S(t)$ を $z = t$ の範囲 $1 \le t \le 2$ で積分すれば求まる。

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V = \int_{1}^{2} S(t) \, dt = \int_{1}^{2} \pi (4 - t^2) \, dt = \pi \int_{1}^{2} (4 - t^2) \, dt

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積分を実行する。

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\int_{1}^{2} (4 - t^2) \, dt = \left[ 4t - \frac{1}{3}t^3 \right]_{1}^{2} = \left( 4(2) - \frac{1}{3}(2)^3 \right) - \left( 4(1) - \frac{1}{3}(1)^3 \right) = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( 4 - \frac{1}{3} \right)

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= 8 - \frac{8}{3} - 4 + \frac{1}{3} = 4 - \frac{7}{3} = \frac{12 - 7}{3} = \frac{5}{3}

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よって、体積 $V$ は、

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V = \pi \left( \frac{5}{3} \right) = \frac{5}{3}\pi

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3. 最終的な答え

$\frac{5}{3}\pi$