関数 $f(x)$ が次の積分方程式を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。 $f(x) = \int_0^2 x f'(t) dt + \int_0^x e^{x-t} dt$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が次の積分方程式を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

$f(x) = \int_0^2 x f'(t) dt + \int_0^x e^{x-t} dt$

2. 解き方の手順

まず、与えられた積分方程式を整理します。

$f(x) = x \int_0^2 f'(t) dt + \int_0^x e^{x-t} dt$

ここで、$C = \int_0^2 f'(t) dt$ とおくと、これは定数なので、

$f(x) = Cx + \int_0^x e^{x-t} dt$

$\int_0^x e^{x-t} dt = e^x \int_0^x e^{-t} dt = e^x [-e^{-t}]_0^x = e^x (-e^{-x} + e^0) = e^x (1 - e^{-x}) = e^x - 1$

したがって、

$f(x) = Cx + e^x - 1$

次に、$f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = C + e^x$

ここで、$C = \int_0^2 f'(t) dt$ の定義に戻り、$f'(t)$ を代入します。

$C = \int_0^2 (C + e^t) dt = [Ct + e^t]_0^2 = 2C + e^2 - e^0 = 2C + e^2 - 1$

この式から $C$ を求めます。

$C = 2C + e^2 - 1$

$-C = e^2 - 1$

$C = 1 - e^2$

したがって、$f(x) = (1-e^2)x + e^x - 1$ となります。

3. 最終的な答え

$f(x) = (1-e^2)x + e^x - 1$