$p$を定数とする。2つの関数$f(x) = x^2 - 2x$、$g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$があり、$f'(p) = g'(\frac{1}{2})$を満たしている。$y = f(x)$のグラフを$C_1$、$y = g(x)$のグラフを$C_2$とする。 (1) $p$の値を求めよ。 (2) $C_1$と$C_2$で囲まれた部分のうち、直線$x = p$の右側の部分の面積を$S$とする。$S$を求めよ。 (3) $t$は$\frac{3}{2} < t < p$を満たす定数とする。$C_1$と$C_2$で囲まれた部分のうち、直線$x = t$の左側の部分の面積を$T$とする。$T$を$t$を用いて表せ。また、(2)の$S$に対し、$T = 2S$を満たす$t$の値は、$\frac{3}{2} < t < p$においてただ1つ存在することを示せ。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$p$を定数とする。2つの関数$f(x) = x^2 - 2x$、$g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$があり、$f'(p) = g'(\frac{1}{2})$を満たしている。$y = f(x)$のグラフを$C_1$、$y = g(x)$のグラフを$C_2$とする。

(1) $p$の値を求めよ。

(2) $C_1$と$C_2$で囲まれた部分のうち、直線$x = p$の右側の部分の面積を$S$とする。$S$を求めよ。

(3) $t$は$\frac{3}{2} < t < p$を満たす定数とする。$C_1$と$C_2$で囲まれた部分のうち、直線$x = t$の左側の部分の面積を$T$とする。$T$を$t$を用いて表せ。また、(2)の$S$に対し、$T = 2S$を満たす$t$の値は、$\frac{3}{2} < t < p$においてただ1つ存在することを示せ。

2. 解き方の手順

(1) $p$の値を求める。

まず、$f(x) = x^2 - 2x$、$g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$を微分する。

$f'(x) = 2x - 2$

$g'(x) = -x + \frac{5}{2}$

$f'(p) = 2p - 2$

$g'(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = 2$

$f'(p) = g'(\frac{1}{2})$より、

$2p - 2 = 2$

$2p = 4$

$p = 2$

(2) $C_1$と$C_2$で囲まれた部分のうち、$x = p = 2$の右側の部分の面積$S$を求める。

$C_1$と$C_2$の交点を求める。

$x^2 - 2x = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$

$\frac{3}{2}x^2 - \frac{9}{2}x = 0$

$3x^2 - 9x = 0$

$3x(x - 3) = 0$

$x = 0, 3$

$S = \int_{2}^{3} (g(x) - f(x)) dx = \int_{2}^{3} (-\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x) dx$

$S = [-\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2]_2^3 = (-\frac{27}{2} + \frac{81}{4}) - (-4 + 9) = \frac{27}{4} - 5 = \frac{7}{4}$

(3) $C_1$と$C_2$で囲まれた部分のうち、$x = t$の左側の部分の面積$T$を求める。$\frac{3}{2} < t < p = 2$とする。

$T = \int_{0}^{t} (g(x) - f(x)) dx = \int_{0}^{t} (-\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x) dx$

$T = [-\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2]_0^t = -\frac{1}{2}t^3 + \frac{9}{4}t^2$

$T = 2S$を満たす$t$を求める。

$-\frac{1}{2}t^3 + \frac{9}{4}t^2 = 2 \cdot \frac{7}{4} = \frac{7}{2}$

$-2t^3 + 9t^2 = 14$

$2t^3 - 9t^2 + 14 = 0$

$f(t)=2t^3 - 9t^2 + 14$とする。$t=2$の時、$f(2) = 2\cdot8 - 9\cdot4 + 14 = 16 - 36 + 14 = -6$。また、$f(7/4) = 2(7/4)^3 - 9(7/4)^2 + 14 = 2(343/64) - 9(49/16) + 14 = 343/32 - 441/16 + 14 = (343 - 882 + 448)/32 = (791 - 882)/32 = -91/32 < 0$。また、$f(1.9) \approx 2(1.9)^3 - 9(1.9)^2 + 14 = 2(6.859) - 9(3.61) + 14 \approx 13.718 - 32.49 + 14 \approx -4.772$。

ここで、$f(\frac{3}{2}) = 2 \cdot (\frac{3}{2})^3 - 9 \cdot (\frac{3}{2})^2 + 14 = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 14 = -\frac{54}{4} + 14 = -\frac{27}{2} + \frac{28}{2} = \frac{1}{2} > 0$

$\frac{3}{2} < t < 2$において、 $f(\frac{3}{2}) > 0$、$f(2) < 0$なので、中間値の定理より、$f(t) = 0$を満たす$t$が$\frac{3}{2} < t < 2$に少なくとも1つ存在する。

また、$f'(t) = 6t^2 - 18t = 6t(t - 3)$。 $\frac{3}{2} < t < 2$なので、$f'(t) < 0$。よって、$f(t)$は単調減少なので、$f(t) = 0$を満たす$t$はただ1つ存在する。

3. 最終的な答え

(1) $p = 2$

(2) $S = \frac{7}{4}$

(3) $T = -\frac{1}{2}t^3 + \frac{9}{4}t^2$、$\frac{3}{2} < t < p$において$T = 2S$を満たす$t$の値はただ1つ存在する。