広義積分 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^\alpha} dx$ を計算し、$\alpha > 1$ のとき $\frac{1}{\alpha - 1}$ に収束し、$\alpha \le 1$ のとき発散することを示す。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^\alpha} dx$ を計算し、$\alpha > 1$ のとき $\frac{1}{\alpha - 1}$ に収束し、$\alpha \le 1$ のとき発散することを示す。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{1}{x^\alpha} dx$ を計算する。ただし、$\alpha = 1$ の場合と $\alpha \neq 1$ の場合で場合分けが必要である。

(i) $\alpha \neq 1$ の場合、

$$\int \frac{1}{x^\alpha} dx = \int x^{-\alpha} dx = \frac{x^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} + C = \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} + C$$

ここで、$C$ は積分定数である。

(ii) $\alpha = 1$ の場合、

$$\int \frac{1}{x} dx = \log|x| + C$$

次に、広義積分を計算する。

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^\alpha} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^\alpha} dx$$

(i) $\alpha \neq 1$ の場合、

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^\alpha} dx = \lim_{t \to \infty} \left[ \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right]_{1}^{t} = \lim_{t \to \infty} \left( \frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha} - \frac{1^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right) = \lim_{t \to \infty} \left( \frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha} - \frac{1}{1-\alpha} \right)$$

ここで、$\alpha > 1$ ならば $1 - \alpha < 0$ なので、$\lim_{t \to \infty} t^{1-\alpha} = 0$ となり、

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^\alpha} dx = -\frac{1}{1-\alpha} = \frac{1}{\alpha - 1}$$

$\alpha < 1$ ならば $1 - \alpha > 0$ なので、$\lim_{t \to \infty} t^{1-\alpha} = \infty$ となり、広義積分は発散する。

(ii) $\alpha = 1$ の場合、

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} dx = \lim_{t \to \infty} [\log x]_{1}^{t} = \lim_{t \to \infty} (\log t - \log 1) = \lim_{t \to \infty} \log t = \infty$$

となり、広義積分は発散する。

したがって、$\alpha > 1$ のとき、広義積分は $\frac{1}{\alpha - 1}$ に収束し、$\alpha \le 1$ のとき、広義積分は発散する。

3. 最終的な答え

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^\alpha} dx = \begin{cases} \frac{1}{\alpha - 1} & (\alpha > 1) \\ \infty & (\alpha \le 1) \end{cases}$