次の等式を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ をすべて求めよ。 $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x$

1. 問題の内容

次の等式を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ をすべて求めよ。

$\int_{a}^{x} f(t) dt = x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x$

2. 解き方の手順

まず、両辺を $x$ で微分します。積分と微分の関係より、

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$

$\frac{d}{dx} (x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x) = 4x^3 - 12x^2 + 10x - 2$

したがって、

$f(x) = 4x^3 - 12x^2 + 10x - 2$

次に、$x=a$ を与えられた等式に代入すると、

$\int_{a}^{a} f(t) dt = 0$

なので、

$a^4 - 4a^3 + 5a^2 - 2a = 0$

$a(a^3 - 4a^2 + 5a - 2) = 0$

$a(a-1)(a^2 - 3a + 2) = 0$

$a(a-1)(a-1)(a-2) = 0$

$a(a-1)^2(a-2) = 0$

したがって、$a = 0, 1, 2$

3. 最終的な答え

$f(x) = 4x^3 - 12x^2 + 10x - 2$

$a = 0, 1, 2$