この問題は、三角関数の方程式と不等式を解く問題です。具体的には、以下の3つの小問があります。 (1) $0 \le x < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin x \ge \frac{1}{2}$ を満たす $x$ の範囲を求める。 (2) $0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin 3x + \sin x = 0$ を解く。この際、$\sin 3x$ を $\sin(2x+x)$ として加法定理や2倍角の公式を用いて変形していく。 (3) $0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $2\sin 3x - \sin 2x + \sin x = 0$ を解き、小さい順に2番目と3番目の解を求める。

1. 問題の内容

この問題は、三角関数の方程式と不等式を解く問題です。具体的には、以下の3つの小問があります。

(1) $0 \le x < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin x \ge \frac{1}{2}$ を満たす $x$ の範囲を求める。

(2) $0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin 3x + \sin x = 0$ を解く。この際、$\sin 3x$ を $\sin(2x+x)$ として加法定理や2倍角の公式を用いて変形していく。

(3) $0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $2\sin 3x - \sin 2x + \sin x = 0$ を解き、小さい順に2番目と3番目の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin x \ge \frac{1}{2}$ を満たす $x$ の範囲を求める。$\sin x = \frac{1}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ である。$\sin x \ge \frac{1}{2}$ を満たす $x$ の範囲は $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{5\pi}{6}$ である。

(2) $\sin 3x + \sin x = 0$ を解く。

$\sin 3x = \sin(2x+x) = \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x$

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を用いると、

$\sin 3x = 2 \sin x \cos^2 x + (2\cos^2 x - 1) \sin x = 4 \sin x \cos^2 x - \sin x$

よって、$\sin 3x + \sin x = 4 \sin x \cos^2 x = 0$

$\sin x (4\cos^2 x) = 0$ なので、$\sin x = 0$ または $\cos^2 x = 0$

$\sin x = 0$ のとき、$x = 0, \pi$

$\cos^2 x = 0$、つまり $\cos x = 0$のとき、$x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

したがって、$x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$。

(3) $2\sin 3x - \sin 2x + \sin x = 0$ を解く。

$\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x = \sin x (3 - 4 \sin^2 x) = \sin x(4 \cos^2 x - 1)$

$\sin 2x = 2\sin x \cos x$

$2\sin 3x - \sin 2x + \sin x = 2\sin x (4\cos^2 x - 1) - 2\sin x \cos x + \sin x = \sin x(8\cos^2 x - 2\cos x - 1) = 0$

$\sin x = 0$ または $8\cos^2 x - 2\cos x - 1 = 0$

$\sin x = 0$のとき、$x=0, \pi$

$8\cos^2 x - 2\cos x - 1 = 0$を解くと、$\cos x = \frac{2 \pm \sqrt{4+32}}{16} = \frac{2 \pm 6}{16} = \frac{1}{2}, -\frac{1}{4}$

$\cos x = \frac{1}{2}$のとき、$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$\cos x = -\frac{1}{4}$のとき、$x = \arccos(-\frac{1}{4}), 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4})$

解を小さい順に並べると $0, \frac{\pi}{3}, \arccos(-\frac{1}{4}), \pi, 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}), \frac{5\pi}{3}$

2番目に小さい解は $\frac{\pi}{3}$, 3番目に小さい解は $\arccos(-\frac{1}{4})$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{5\pi}{6}$

(2) $x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$

(3) 2番目に小さい解: $\frac{\pi}{3}$

3番目に小さい解: $\arccos(-\frac{1}{4})$