(1) 定積分 $\int_{1}^{5} \frac{1}{\sqrt{2x-1}} dx$ を求めます。 (4) 定積分 $\int_{2}^{3} (2x-3)^3 dx$ を求めます。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 定積分 $\int_{1}^{5} \frac{1}{\sqrt{2x-1}} dx$ を求めます。

(4) 定積分 $\int_{2}^{3} (2x-3)^3 dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{2x-1}} dx$ を求めます。

$u = 2x-1$ と置換すると、$du = 2 dx$ となり、$dx = \frac{1}{2} du$ となります。

したがって、

$\int \frac{1}{\sqrt{2x-1}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{u} + C = \sqrt{2x-1} + C$

したがって、定積分は

$\int_{1}^{5} \frac{1}{\sqrt{2x-1}} dx = [\sqrt{2x-1}]_{1}^{5} = \sqrt{2 \cdot 5 - 1} - \sqrt{2 \cdot 1 - 1} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$

(4)

不定積分 $\int (2x-3)^3 dx$ を求めます。

$u = 2x-3$ と置換すると、$du = 2dx$ となり、$dx = \frac{1}{2} du$ となります。

したがって、

$\int (2x-3)^3 dx = \int u^3 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{1}{8} u^4 + C = \frac{1}{8} (2x-3)^4 + C$

したがって、定積分は

$\int_{2}^{3} (2x-3)^3 dx = [\frac{1}{8}(2x-3)^4]_{2}^{3} = \frac{1}{8} (2 \cdot 3 - 3)^4 - \frac{1}{8} (2 \cdot 2 - 3)^4 = \frac{1}{8} (3^4 - 1^4) = \frac{1}{8} (81 - 1) = \frac{80}{8} = 10$

3. 最終的な答え

(1) の答え: 2

(4) の答え: 10