次の曲線上の指定された $x$ 座標に対応する点における法線の方程式を求めます。 (1) $y = x^3 - 3x^2 - 1$ ($x=3$) (2) $y = \tan x$ ($x = \frac{\pi}{4}$)

1. 問題の内容

次の曲線上の指定された $x$ 座標に対応する点における法線の方程式を求めます。

(1) $y = x^3 - 3x^2 - 1$ ($x=3$)

(2) $y = \tan x$ ($x = \frac{\pi}{4}$)

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x=3$ のときの $y$ 座標を求めます。

$y = (3)^3 - 3(3)^2 - 1 = 27 - 27 - 1 = -1$

したがって、点$(3, -1)$ における法線を求めることになります。

次に、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 3x^2 - 6x$

$x=3$ における傾きを求めます。

$y'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9$

これは接線の傾きなので、法線の傾きは $-\frac{1}{9}$ です。

したがって、法線の方程式は、$y - (-1) = -\frac{1}{9}(x - 3)$ となります。

(2)

まず、$x=\frac{\pi}{4}$ のときの $y$ 座標を求めます。

$y = \tan \frac{\pi}{4} = 1$

したがって、点 $(\frac{\pi}{4}, 1)$ における法線を求めることになります。

次に、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = \frac{1}{\cos^2 x}$

$x = \frac{\pi}{4}$ における傾きを求めます。

$y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

これは接線の傾きなので、法線の傾きは $-\frac{1}{2}$ です。

したがって、法線の方程式は、$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4})$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y + 1 = -\frac{1}{9}(x - 3)$

これを整理すると、$y = -\frac{1}{9}x + \frac{1}{3} - 1 = -\frac{1}{9}x - \frac{2}{3}$

答え: $y = -\frac{1}{9}x - \frac{2}{3}$

(2) $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4})$

これを整理すると、$y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 1$

答え: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 1$