関数 $f(x) = -\sin x + \sqrt{3} \cos x$ を合成し、$f(x) = A \sin (x + \frac{I}{U} \pi)$ の形に変形する。さらに、$0 \le x < 2\pi$ のとき、不等式 $f(x) \ge \sqrt{2}$ を満たす $x$ の値の範囲を求める。

## 問題094の解答

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\sin x + \sqrt{3} \cos x$ を合成し、$f(x) = A \sin (x + \frac{I}{U} \pi)$ の形に変形する。さらに、$0 \le x < 2\pi$ のとき、不等式 $f(x) \ge \sqrt{2}$ を満たす $x$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = -\sin x + \sqrt{3} \cos x$ を合成する。

$f(x) = A \sin(x + \alpha)$ とおくと、

$A = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

また、$\cos \alpha = \frac{-1}{2}, \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\alpha = \frac{2}{3}\pi$

したがって、$f(x) = 2 \sin(x + \frac{2}{3}\pi)$

次に、$0 \le x < 2\pi$ のとき、不等式 $f(x) \ge \sqrt{2}$ を解く。

$2 \sin(x + \frac{2}{3}\pi) \ge \sqrt{2}$

$\sin(x + \frac{2}{3}\pi) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$

ここで、$t = x + \frac{2}{3}\pi$ とおくと、$0 + \frac{2}{3}\pi \le t < 2\pi + \frac{2}{3}\pi$

$\frac{2}{3}\pi \le t < \frac{8}{3}\pi$

$\sin t \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $t$ の範囲は、

$\frac{\pi}{4} \le t \le \frac{3}{4}\pi$ および $\frac{9}{4}\pi \le t \le \frac{11}{4}\pi$

したがって、

$\frac{\pi}{4} \le x + \frac{2}{3}\pi \le \frac{3}{4}\pi$ および $\frac{9}{4}\pi \le x + \frac{2}{3}\pi \le \frac{11}{4}\pi$

$\frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}\pi \le x \le \frac{3}{4}\pi - \frac{2}{3}\pi$ および $\frac{9}{4}\pi - \frac{2}{3}\pi \le x \le \frac{11}{4}\pi - \frac{2}{3}\pi$

$\frac{3-8}{12}\pi \le x \le \frac{9-8}{12}\pi$ および $\frac{27-8}{12}\pi \le x \le \frac{33-8}{12}\pi$

$-\frac{5}{12}\pi \le x \le \frac{1}{12}\pi$ および $\frac{19}{12}\pi \le x \le \frac{25}{12}\pi$

$0 \le x < 2\pi$ より、

$0 \le x \le \frac{1}{12}\pi$ および $\frac{19}{12}\pi \le x < 2\pi$

3. 最終的な答え

ア：2

イ：2

ウ：3

エ：0

オ：1

カキ：12

クケ：19

コサ：12

シ：2