3次関数 $f(x) = x^3 - 3mx^2 + 3mx$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ が極値を持つような $m$ の値の範囲を求める。 (2) $f(x)$ が $x=\alpha$ で極大値、$x=\beta$ で極小値をとるとき、$f(\alpha) - f(\beta) = 8\sqrt{2}$ を満たす $m$ の値を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - 3mx^2 + 3mx$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ が極値を持つような $m$ の値の範囲を求める。

(2) $f(x)$ が $x=\alpha$ で極大値、$x=\beta$ で極小値をとるとき、$f(\alpha) - f(\beta) = 8\sqrt{2}$ を満たす $m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $f(x)$ が極値を持つためには、導関数 $f'(x)$ が異なる2つの実数解を持つ必要があります。

まず、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 - 6mx + 3m = 3(x^2 - 2mx + m)$

$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件は、$x^2 - 2mx + m = 0$ の判別式 $D$ が正であることです。

$D = (-2m)^2 - 4(1)(m) = 4m^2 - 4m = 4m(m-1)$

$D > 0$ より、$4m(m-1) > 0$

したがって、$m < 0$ または $m > 1$

(2)

$f'(x) = 3(x^2 - 2mx + m) = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とします。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 2m$、$\alpha\beta = m$

$f(\alpha) - f(\beta) = \int_{\beta}^{\alpha} f'(x) dx = \int_{\beta}^{\alpha} (3x^2 - 6mx + 3m) dx = [x^3 - 3mx^2 + 3mx]_{\beta}^{\alpha} = (\alpha^3 - \beta^3) - 3m(\alpha^2 - \beta^2) + 3m(\alpha - \beta)$

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (2m)^2 - 4m = 4m^2 - 4m$

$\alpha - \beta = \pm \sqrt{4m^2 - 4m} = \pm 2\sqrt{m^2 - m}$

$\alpha^3 - \beta^3 = (\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha - \beta)((\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta) = (\alpha - \beta)((2m)^2 - m) = (\alpha - \beta)(4m^2 - m)$

$\alpha^2 - \beta^2 = (\alpha - \beta)(\alpha + \beta) = (\alpha - \beta)(2m)$

$f(\alpha) - f(\beta) = (\alpha - \beta)(4m^2 - m) - 3m(\alpha - \beta)(2m) + 3m(\alpha - \beta) = (\alpha - \beta)(4m^2 - m - 6m^2 + 3m) = (\alpha - \beta)(-2m^2 + 2m) = \pm 2\sqrt{m^2 - m}(-2m^2 + 2m)$

$f(\alpha) - f(\beta) = 8\sqrt{2}$ であるから、$|2\sqrt{m^2 - m}(-2m^2 + 2m)| = 8\sqrt{2}$

$|\sqrt{m^2 - m}(-m^2 + m)| = 2\sqrt{2}$

$(m^2 - m)^3 = 8$

$m^2 - m = 2$

$m^2 - m - 2 = 0$

$(m - 2)(m + 1) = 0$

$m = 2, -1$

(1) より、$m < 0$ または $m > 1$ なので、$m = 2, -1$ は条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $m < 0$ または $m > 1$

(2) $m = 2, -1$