定積分 $\int_{3}^{6} \frac{3}{2x-1} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{3}^{6} \frac{3}{2x-1} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

積分を計算するために、置換積分を使用します。

$u = 2x - 1$ と置くと、$du = 2dx$ となります。したがって、$dx = \frac{1}{2} du$ です。

次に、積分の範囲を変更します。

$x = 3$ のとき、$u = 2(3) - 1 = 5$

$x = 6$ のとき、$u = 2(6) - 1 = 11$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{3}^{6} \frac{3}{2x-1} dx = \int_{5}^{11} \frac{3}{u} \frac{1}{2} du = \frac{3}{2} \int_{5}^{11} \frac{1}{u} du$

$\int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C$ なので、

$\frac{3}{2} \int_{5}^{11} \frac{1}{u} du = \frac{3}{2} [\ln|u|]_{5}^{11} = \frac{3}{2} (\ln 11 - \ln 5)$

$\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$ を使うと

$\frac{3}{2} (\ln 11 - \ln 5) = \frac{3}{2} \ln \frac{11}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2} \ln \frac{11}{5}$