(1) $\int_{-1}^{1} (2x-1) \, dx$ (4) $\int_{2}^{3} (x^4 - 16) \, dx$ これらの定積分の値を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) $\int_{-1}^{1} (2x-1) \, dx$

(4) $\int_{2}^{3} (x^4 - 16) \, dx$

これらの定積分の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

積分 $\int (2x-1) \, dx$ を計算します。

$\int (2x-1) \, dx = x^2 - x + C$

次に、積分範囲 $-1$ から $1$ までの定積分を計算します。

$\int_{-1}^{1} (2x-1) \, dx = [x^2 - x]_{-1}^{1}$

$= (1^2 - 1) - ((-1)^2 - (-1))$

$= (1-1) - (1+1)$

$= 0 - 2$

$= -2$

(4)

積分 $\int (x^4 - 16) \, dx$ を計算します。

$\int (x^4 - 16) \, dx = \frac{x^5}{5} - 16x + C$

次に、積分範囲 $2$ から $3$ までの定積分を計算します。

$\int_{2}^{3} (x^4 - 16) \, dx = [\frac{x^5}{5} - 16x]_{2}^{3}$

$= (\frac{3^5}{5} - 16(3)) - (\frac{2^5}{5} - 16(2))$

$= (\frac{243}{5} - 48) - (\frac{32}{5} - 32)$

$= (\frac{243}{5} - \frac{240}{5}) - (\frac{32}{5} - \frac{160}{5})$

$= \frac{3}{5} - (-\frac{128}{5})$

$= \frac{3}{5} + \frac{128}{5}$

$= \frac{131}{5}$

3. 最終的な答え

(1) -2

(4) $\frac{131}{5}$