次の定積分を計算します。 $\int_{3}^{8} \frac{3}{2x-1} dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{3}^{8} \frac{3}{2x-1} dx$

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int \frac{3}{2x-1} dx$

$u = 2x - 1$ と置換すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2} du$ となります。

したがって、

$\int \frac{3}{2x-1} dx = \int \frac{3}{u} \frac{1}{2} du = \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{3}{2} \ln |u| + C = \frac{3}{2} \ln |2x-1| + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{3}^{8} \frac{3}{2x-1} dx = \left[ \frac{3}{2} \ln |2x-1| \right]_{3}^{8}$

$= \frac{3}{2} \ln |2(8)-1| - \frac{3}{2} \ln |2(3)-1|$

$= \frac{3}{2} \ln |16-1| - \frac{3}{2} \ln |6-1|$

$= \frac{3}{2} \ln 15 - \frac{3}{2} \ln 5$

$= \frac{3}{2} (\ln 15 - \ln 5)$

$= \frac{3}{2} \ln \frac{15}{5}$

$= \frac{3}{2} \ln 3$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2} \ln 3$