不定積分 $\int \frac{x^3 - 4x + 3}{x^2} dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x^3 - 4x + 3}{x^2} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた積分を計算するために、まず被積分関数を整理します。

$\frac{x^3 - 4x + 3}{x^2} = \frac{x^3}{x^2} - \frac{4x}{x^2} + \frac{3}{x^2} = x - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2} = x - 4x^{-1} + 3x^{-2}$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int \frac{x^3 - 4x + 3}{x^2} dx = \int (x - 4x^{-1} + 3x^{-2}) dx$

それぞれの項を積分します。

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1$

$\int -4x^{-1} dx = -4 \int \frac{1}{x} dx = -4 \ln|x| + C_2$

$\int 3x^{-2} dx = 3 \int x^{-2} dx = 3 \frac{x^{-1}}{-1} + C_3 = -\frac{3}{x} + C_3$

よって、積分は次のようになります。

$\int (x - 4x^{-1} + 3x^{-2}) dx = \frac{x^2}{2} - 4 \ln|x| - \frac{3}{x} + C$

ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{2} - 4 \ln|x| - \frac{3}{x} + C$