$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 1} + ax + 1) = b$を満たす$a$と$b$を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 1} + ax + 1) = b$を満たす$a$と$b$を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2 + 1}$を$x$を用いて近似します。$x$が十分に大きいとき、$\sqrt{x^2 + 1} \approx \sqrt{x^2} = |x|$となります。$x \to \infty$のとき、$x > 0$なので、$|x| = x$です。したがって、$\sqrt{x^2 + 1} \approx x$となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 1} + ax + 1) = \lim_{x \to \infty} (x + ax + 1) = \lim_{x \to \infty} ((1+a)x + 1)$

この極限が有限の値$b$を持つためには、$1+a = 0$である必要があります。したがって、$a = -1$です。

$a = -1$のとき、

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 1} - x + 1)$

$\sqrt{x^2 + 1} - x$の部分を有利化します。

$\sqrt{x^2 + 1} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \frac{(x^2 + 1) - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 1} - x + 1) = \lim_{x \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x} + 1)$

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x} + 1) = 0 + 1 = 1$

したがって、$b = 1$です。

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = 1$