与えられた2つの不定積分を計算する問題です。 (i) $\int \frac{x^2}{x^2 - 1} dx$ (ii) $\int \frac{1}{x^3 + 1} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの不定積分を計算する問題です。

(i) $\int \frac{x^2}{x^2 - 1} dx$

(ii) $\int \frac{1}{x^3 + 1} dx$

2. 解き方の手順

(i) $\int \frac{x^2}{x^2 - 1} dx$ の計算

まず、被積分関数を次のように変形します。

$\frac{x^2}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 1 + 1}{x^2 - 1} = 1 + \frac{1}{x^2 - 1}$

次に、$\frac{1}{x^2 - 1}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$

$1 = A(x + 1) + B(x - 1)$

$x = 1$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$x = -1$ のとき、$1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

よって、

$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)$

したがって、

$\int \frac{x^2}{x^2 - 1} dx = \int \left(1 + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)\right) dx$

$= \int dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} dx$

$= x + \frac{1}{2} \ln |x - 1| - \frac{1}{2} \ln |x + 1| + C$

$= x + \frac{1}{2} \ln \left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C$

(ii) $\int \frac{1}{x^3 + 1} dx$ の計算

まず、$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$ と因数分解します。

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{1}{x^3 + 1} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 - x + 1}$

$1 = A(x^2 - x + 1) + (Bx + C)(x + 1)$

$1 = (A + B)x^2 + (-A + B + C)x + (A + C)$

係数を比較すると、

$A + B = 0$

$-A + B + C = 0$

$A + C = 1$

$B = -A$, $C = 1 - A$ を $-A + B + C = 0$ に代入すると、

$-A - A + 1 - A = 0$

$3A = 1$

$A = \frac{1}{3}$

$B = -\frac{1}{3}$

$C = \frac{2}{3}$

したがって、

$\frac{1}{x^3 + 1} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{-x + 2}{x^2 - x + 1}\right)$

$\int \frac{1}{x^3 + 1} dx = \frac{1}{3} \int \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{-x + 2}{x^2 - x + 1}\right) dx$

$= \frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{-x + 2}{x^2 - x + 1} dx$

$= \frac{1}{3} \ln |x + 1| + \frac{1}{3} \int \frac{-\frac{1}{2}(2x - 1) + \frac{3}{2}}{x^2 - x + 1} dx$

$= \frac{1}{3} \ln |x + 1| - \frac{1}{6} \int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx$

$= \frac{1}{3} \ln |x + 1| - \frac{1}{6} \ln |x^2 - x + 1| + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$

$= \frac{1}{3} \ln |x + 1| - \frac{1}{6} \ln (x^2 - x + 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{x - \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) + C$

$= \frac{1}{3} \ln |x + 1| - \frac{1}{6} \ln (x^2 - x + 1) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right) + C$

3. 最終的な答え

(i) $\int \frac{x^2}{x^2 - 1} dx = x + \frac{1}{2} \ln \left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C$

(ii) $\int \frac{1}{x^3 + 1} dx = \frac{1}{3} \ln |x + 1| - \frac{1}{6} \ln (x^2 - x + 1) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right) + C$