与えられた不定積分を計算する問題です。具体的には、問題(2), (4), (6), (7)について、以下の不定積分を求めます。 (2) $\int 3 dx$ (4) $\int (ax+b) dx$ (ただし、$a, b$は定数) (6) $\int \left( 2\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) dx$ (7) $\int \left(x^2 - \frac{3}{x^2}\right) dx$

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算する問題です。具体的には、問題(2), (4), (6), (7)について、以下の不定積分を求めます。

(2) $\int 3 dx$

(4) $\int (ax+b) dx$ (ただし、$a, b$は定数)

(6) $\int \left( 2\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) dx$

(7) $\int \left(x^2 - \frac{3}{x^2}\right) dx$

2. 解き方の手順

(2) $\int 3 dx$

定数関数の積分です。

$\int 3 dx = 3 \int 1 dx = 3x + C$

ここで、$C$は積分定数です。

(4) $\int (ax+b) dx$

線形性を使って積分を分割します。

$\int (ax+b) dx = \int ax dx + \int b dx = a \int x dx + b \int 1 dx$

$\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_1$

$\int 1 dx = x + C_2$

したがって、

$\int (ax+b) dx = a \cdot \frac{1}{2}x^2 + b x + C = \frac{a}{2}x^2 + bx + C$

ここで、$C$は積分定数です。

(6) $\int \left( 2\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) dx$

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$および$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$と書き換えます。

$\int \left( 2\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) dx = \int (2x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}) dx = 2 \int x^{\frac{1}{2}} dx - \int x^{-\frac{1}{2}} dx$

$\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C_1 = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C_1$

$\int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_2 = 2x^{\frac{1}{2}} + C_2$

したがって、

$\int \left( 2\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) dx = 2 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x^{\frac{1}{2}} + C = \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2\sqrt{x} + C$

ここで、$C$は積分定数です。

(7) $\int \left(x^2 - \frac{3}{x^2}\right) dx$

$\frac{3}{x^2} = 3x^{-2}$と書き換えます。

$\int \left(x^2 - \frac{3}{x^2}\right) dx = \int (x^2 - 3x^{-2}) dx = \int x^2 dx - 3\int x^{-2} dx$

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_1$

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C_2 = -\frac{1}{x} + C_2$

したがって、

$\int \left(x^2 - \frac{3}{x^2}\right) dx = \frac{x^3}{3} - 3 \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) + C = \frac{x^3}{3} + \frac{3}{x} + C$

ここで、$C$は積分定数です。

3. 最終的な答え

(2) $3x + C$

(4) $\frac{a}{2}x^2 + bx + C$

(6) $\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2\sqrt{x} + C$

(7) $\frac{x^3}{3} + \frac{3}{x} + C$

ここで、$C$は積分定数を表します。