曲線 $y = \sin x$ と $x$ 軸、直線 $x = \frac{\pi}{4}$ で囲まれる部分を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \sin x$ と $x$ 軸、直線 $x = \frac{\pi}{4}$ で囲まれる部分を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

回転体の体積は、積分を用いて計算できます。

$x$軸のまわりに回転させた体積 $V$ は、次の式で表されます。

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$

この問題では、$f(x) = \sin x$、$a = 0$、$b = \frac{\pi}{4}$ です。

したがって、求める体積 $V$ は次のようになります。

$V = \pi \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\sin x)^2 dx$

ここで、$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ であることを利用すると、

$V = \pi \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{\pi}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} (1 - \cos 2x) dx$

積分を実行すると、

$V = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{1}{2} \sin 2x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2} \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} \sin 0 \right) \right]$

$V = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} (1) - (0 - 0) \right] = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi - 2}{4} \right) = \frac{\pi(\pi - 2)}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi(\pi - 2)}{8}$