与えられた積分 $\int \frac{(\sqrt{x}+1)^3}{\sqrt{x}} dx$ を計算する問題です。積分の中身は、$\frac{(\sqrt{x}+1)^3}{\sqrt{x}} = x + 3\sqrt{x} + 3 + \frac{1}{\sqrt{x}}$ と展開されています。この展開された式を積分します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{(\sqrt{x}+1)^3}{\sqrt{x}} dx$ を計算する問題です。積分の中身は、$\frac{(\sqrt{x}+1)^3}{\sqrt{x}} = x + 3\sqrt{x} + 3 + \frac{1}{\sqrt{x}}$ と展開されています。この展開された式を積分します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開された形で書き下します。

$$\int \left( x + 3\sqrt{x} + 3 + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) dx$$

次に、それぞれの項を個別に積分します。

$\int x dx = \frac{1}{2}x^2$

$\int 3\sqrt{x} dx = 3 \int x^{\frac{1}{2}} dx = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = 2x^{\frac{3}{2}}$

$\int 3 dx = 3x$

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int x^{-\frac{1}{2}} dx = 2x^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}$

したがって、

$$\int \left( x + 3\sqrt{x} + 3 + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) dx = \frac{1}{2}x^2 + 2x^{\frac{3}{2}} + 3x + 2\sqrt{x} + C$$

ここで、$C$は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}x^2 + 2x^{\frac{3}{2}} + 3x + 2\sqrt{x} + C$