曲線 $y = -x^3 + x^2 + 1$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^3 + x^2 + 1$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数の導関数を求めます。導関数は接線の傾きを表します。

$y = -x^3 + x^2 + 1$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = -3x^2 + 2x$

となります。

(2) 次に、点 $(1, 1)$ における接線の傾きを求めます。これは、導関数に $x = 1$ を代入することで得られます。

$\frac{dy}{dx}\Bigr|_{x=1} = -3(1)^2 + 2(1) = -3 + 2 = -1$

(3) したがって、接線の傾きは $-1$ です。点 $(1, 1)$ を通り、傾きが $-1$ の直線の方程式を求めます。点傾斜式を用いると、

$y - y_1 = m(x - x_1)$

ここで、$(x_1, y_1) = (1, 1)$、 $m = -1$ なので、

$y - 1 = -1(x - 1)$

$y - 1 = -x + 1$

$y = -x + 2$

3. 最終的な答え

求める接線の方程式は $y = -x + 2$ です。