曲線 $y = x^3 + 2$ 上にない点 $(0, 18)$ から引いた接線の方程式と、その接点の座標を求める問題です。

解析学微分接線曲線の接線微分法
2025/7/7

1. 問題の内容

曲線 y=x3+2y = x^3 + 2 上にない点 (0,18)(0, 18) から引いた接線の方程式と、その接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、接点の xx 座標を tt とおきます。すると、接点の座標は (t,t3+2)(t, t^3 + 2) と表せます。
次に、曲線の微分を計算します。
y=dydx=3x2y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2
したがって、x=tx = t における接線の傾きは 3t23t^2 となります。
接線の方程式は、点 (t,t3+2)(t, t^3 + 2) を通り、傾きが 3t23t^2 の直線なので、以下の式で表されます。
y(t3+2)=3t2(xt)y - (t^3 + 2) = 3t^2(x - t)
y=3t2x3t3+t3+2y = 3t^2x - 3t^3 + t^3 + 2
y=3t2x2t3+2y = 3t^2x - 2t^3 + 2
この接線が点 (0,18)(0, 18) を通ることから、x=0,y=18x = 0, y = 18 を代入して tt を求めます。
18=3t2(0)2t3+218 = 3t^2(0) - 2t^3 + 2
18=2t3+218 = -2t^3 + 2
2t3=162t^3 = -16
t3=8t^3 = -8
t=2t = -2
よって、接点の xx 座標は 2-2 であり、接点の yy 座標は (2)3+2=8+2=6(-2)^3 + 2 = -8 + 2 = -6 となります。したがって、接点の座標は (2,6)(-2, -6) です。
接線の傾きは 3t2=3(2)2=3(4)=123t^2 = 3(-2)^2 = 3(4) = 12 となります。
接線の方程式は、傾き 1212 で点 (0,18)(0, 18) を通る直線なので、
y=12x+18y = 12x + 18

3. 最終的な答え

接線の方程式: y=12x+18y = 12x + 18
接点の座標: (2,6)(-2, -6)

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