曲線 $y = 2x^2 - 1$ 上にない点 $(2, 5)$ からこの曲線に引いた接線の方程式と、その接点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = 2x^2 - 1$ 上にない点 $(2, 5)$ からこの曲線に引いた接線の方程式と、その接点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, 2t^2 - 1)$ とおく。

次に、曲線 $y = 2x^2 - 1$ を微分して、導関数 $y'$ を求める。

$y' = 4x$

点 $(t, 2t^2 - 1)$ における接線の傾きは $4t$ である。

したがって、接線の方程式は次のようになる。

$y - (2t^2 - 1) = 4t(x - t)$

$y = 4tx - 4t^2 + 2t^2 - 1$

$y = 4tx - 2t^2 - 1$

この接線が点 $(2, 5)$ を通るので、次の式が成り立つ。

$5 = 4t(2) - 2t^2 - 1$

$5 = 8t - 2t^2 - 1$

$2t^2 - 8t + 6 = 0$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

$(t - 1)(t - 3) = 0$

よって、$t = 1$ または $t = 3$ である。

(i) $t = 1$ のとき

接点の座標は $(1, 2(1)^2 - 1) = (1, 1)$

接線の方程式は $y = 4(1)x - 2(1)^2 - 1 = 4x - 3$

(ii) $t = 3$ のとき

接点の座標は $(3, 2(3)^2 - 1) = (3, 17)$

接線の方程式は $y = 4(3)x - 2(3)^2 - 1 = 12x - 19$

3. 最終的な答え

接線の方程式が $y = 4x - 3$ のとき、接点は $(1, 1)$

接線の方程式が $y = 12x - 19$ のとき、接点は $(3, 17)$